sexta-feira, 19 de dezembro de 2008

Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos


À semelhança do ano lectivo anterior a nossa Escola inscreveu-se no Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. Está inscrita nos jogos Hex, Rastros e Avanço.
A fase final terá lugar na UBI-Covilhã a 13 de Março.

Ver e jogar em http://ludicum.org/cnjm/cnjm5/jogos_cnjm5/

Olimpíadas de Matemática

Realizaram-se no passado dia 12 de Novembro as XXVII Olimpíadas de Matemática.
Na figura abaixo encontra-se a prova da 1ª Eliminatória - Categoria B.
(Clica na imagem para ver melhor).
Podes fazer o download da prova e das soluções em
http://www.spm.pt/olimpiadas/.

























Na nossa Esc
ola fizeram a prova da 1ª eliminatória 113 alunos (46-10º ano; 57-11º ano; 10-12º ano).
Apesar de se terem registado muitas classificações bastante baixas, os resultados globais subiram, relativamente ao ano passado.
O vencedor foi o mesmo aluno do ano passado (Pedro Marques 11CT8), com uma classificação excelente (34 pontos em 40 possíveis)! Já recebeu o prémio.
Com classificações a rondar os 20 pontos ficaram mais 4 alunos: Ana Henrique e Ana Luísa (10CT2), Luís Guimarães (10CT7) e Sofia Mendes (12CT1).

quinta-feira, 18 de dezembro de 2008

Bom Natal!

terça-feira, 16 de dezembro de 2008

Binómio de Newton


O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos

O Triângulo de Pascal (algumas curiosidades)



Quem diria que tinha tanto sumo! -:)
E não fica por aqui, claro.

O padrão dos números pares (até à linha 11...).

E... somas rastejantes!


As Probabilidades na Literatura

No Pêndulo Foucault - Umberto Eco


“Em Abulafia a palavra de ordem podia ser de sete letras. Quantas combinações de sete letras se podiam dar com as vinte e cinco letras do alfabeto, calculando também as repetições, porque nada impedia que a palavra fosse ‘cadabra’? Existe uma fórmula em qualquer parte, e o resultado devia ser de seis biliões e qualquer coisa. Tendo uma calculadora gigante, capaz de encontrar seis mil milhões de combinações a um milhão por segundo, teria porém de comunicá-la a Abulafia uma a uma, para as experimentar, e já sabia que Abulafia demoraria cerca de dez segundos para pedir e depois verificar a password. Portanto, sessenta mil milhões de segundos. Como um ano tem pouco mais de trinta e um milhões de segundos, façamos trinta para arredondar, o tempo de trabalho seria de cerca de dois mil anos. Nada mau.”


"Experimenta, escreve I, H, V, H, quando te pedir o input, e põe o programa a trabalhar. Talvez fiques mal: as combinações possíveis são só vinte e quatro.
- santos Serafins! E o que fazes tu com vinte e quatro nomes de Deus? Julgas que os nossos sábios não fizeram já o cálculo? Mas lê o Sefer Jerisah, décima sexta acção do capítulo quatro. E não tinham calculadoras. Duas Pedras constroem duas Casas. Três Pedras constroem seis Casas. Quatro Pedras constroem vinte e quatro Casas. Cinco Pedras constroem cento e vinte Casas. Seis Pedras constroem setecentas e vinte Casas. Sete Pedras constroem cinco mil e quarenta Casas. Daqui para diante vai e pensa no que a boca não pode dizer e a orelha não pode ouvir.’ Sabes como é que se chama hoje a isto? Cálculo factorial. E sabes porque é que a Tradição te avisa que daqui para diante é melhor desistires? Porque se as letras do nome de Deus fossem oito as combinações seriam quarenta mil e se fossem dez seriam três milhões e seiscentas mil, e as combinações do teu pobre nome seriam quase quarenta milhões, e agradece a Deus por não teres a middle initial como os americanos, senão chegarias a mais de quatrocentos milhões. E se as letras do nome de Deus fossem vinte e sete, porque o alfabeto hebraico não tem vogais, mas sim vinte e dois sons mais cinco variantes – os seus nomes possíveis seriam um número de vinte e nove algarismos. Mas deverias calcular também as repetições, porque não se pode excluir que o nome de Deus seja Alef repetido vinte e sete vezes, então o factorial já não te chegaria e terias de calcular vinte e sete à vigésima sétima: e terias, julgo eu, quatrocentos e quarenta e quatro biliões de biliões de biliões de possibilidades, ou pelo menos, de qualquer modo, um número de trinta e nove algarismos."

O paradoxo do aniversário

Traduzido a partir de Gaussianos


Provavelmente muitos conhecerão o chamado paradoxo do aniversário, mas para aqueles não o conheçam passo a explicar:

Enunciado do paradoxo

Imaginem que num certo momento estão com um grupo de pessoas, por exemplo, numa reunião familiar ou num bar, qualquer grupo aleatório de pessoas dará. Digamos que há 25 pessoas. Coloco-vos a seguinte questão: Qual pensam que é a probabilidade de que nesse grupo de pessoas haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês?

Quem não conheça este assunto provavelmente responderá: Não sei, mas deve ser muito pequena. Pelo menos essa é basicamente a resposta que encontrei sempre que comentei este assunto.

Mas, a verdade é que não é nada pequena. Vejamos como poderíamos considerar o enunciado do paradoxo:

Numa reunião de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de que duas delas façam anos no mesmo dia do mesmo mês é de 0,507 ou seja, há 50,7% de possibilidades de que haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês.

Para as 25 pessoas do meu exemplo a probabilidade é de aproximadamente de 0,57, ou seja, quase 57%.

Basicamente o que nos diz este resultado é que numa reunião de 23 ou mais pessoas, é mais surpreendente que não haja duas que coincidam no aniversário do que haja pessoas cujo aniversário não seja coincidente, algo que todos nós tendemos a não acreditar num primeiro momento.

Demonstração matemática

O resultado não é um paradoxo matemático, é algo comprovável (e até facilmente) matematicamente. A designação de paradoxo advém do facto de parecer contradizer a intuição.

Para calcular a probabilidade para qualquer número de pessoas n menor ou igual a 365 (já que se há mais de 365 pessoas a probabilidade é 1) a ideia é calcular a probabilidade de que não haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia. A esta probabilidade chamaremos P. Depois calculamos a probabilidade de que haja algum par de pessoas façam anos no mesmo dia, efectuando a operação 1 - P. Calculemos P (tomaremos o ano com 365 dias):

Tomemos uma das pessoas do grupo. Essa pessoa fará anos num certo dia. Tomemos outra das pessoas. A probabilidade de que o aniversário desta nova pessoa não coincida com o aniversário da primeira é 364/365 (casos favoráveis: todos os dias do ano excepto o do aniversário da primeira pessoa; casos possíveis: todos os dias do ano). Se tomamos uma outra pessoa mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 363/365 (pela mesma razão). Tomando outra mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 362/365, e assim sucessivamente. A probabilidade de que ocorram todos estes acontecimentos (que ninguém coincida) é o produto de todas estas probabilidades. Para n pessoas ficamos com a seguinte expressão:

P = (364/365).(363/365).(362/365)….(365 – n +1)/365

Usando factoriais podemos escrever esta expressão assim:

P = 365!/[365^n.(365 - n)!]

Se esta é a probabilidade de que não haja duas pessoas que coincidam no aniversário, a probabilidade de que haja pelo menos um par de pessoas que coincida será 1 - P. Ou seja, a probabilidade de que numa reunião de n pessoas haja duas que façam anos no mesmo dia e mesmo mês é:

P =1 - 365!/[365^n.(365 - n)!]

Com n = 22 obtemos uma probabilidade de 0,475695. Com n = 23 já passamos a 50%, com rigor uma probabilidade de 0,507297. Com n = 25, como no exemplo inicial, estamos já com 0,5687.

Aqui ficam mais alguns resultados:

Para n = 30, a probabilidade é de 0,706316, pouco mais de 70%.
Para n = 35, a probabilidade é de 0,8143383, pouco mais de 81%.
Para n = 40, a probabilidade é de 0,891232, quase de 90%.
Para n = 45, a probabilidade é de 0,940976, cerca de 95%.
Para n = 50, a probabilidade é de 0,970374, mais de 97%.
Para n = 60, a probabilidade é de 0,994123, mais de 99%!!.

A questão é que geralmente cada pessoa tende a imaginar a probabilidade de que, partindo de uma pessoa concreta, haja outra que coincida no aniversário com ela. A probabilidade de isso acontecer é de facto muito baixa em 23 pessoas. A chave do problema é que há uma multiplicidade de pares possíveis que podem formar-se e que vão aumentando conforme aumenta o número de pessoas do grupo. Por isso é que a probabilidade acaba por ser tão alta num grupo tão pequeno.

Probabilidades e Paradoxos

Um paradoxo não é uma desgraça, é uma grande oportunidade, pois indica que há algo profundo por detrás todo o assunto que não entendemos bem e que nos pode conduzir a novos mundos.
Miguel de Guzmán



Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.

in epsilones








imagem de Ott















imagem de Mirco Ilic

Dados & a Curva de Gauss

terça-feira, 9 de dezembro de 2008

Flatland

E se vivêssemos num mundo a duas dimensões?
Ora vejam. Vale a pena!



Ver mais em http://flatlandthemovie.com/
A versão completa deve ser bem gira!...

sábado, 29 de novembro de 2008

Geometrias

Geometrias fractais

Os gregos antigos desenvolveram uma geometria de linhas e círculos, de régua e compasso, onde o rei era o triângulo rectângulo e o teorema de Pitágoras o seu representante. Durante dois milénios, a platónica pureza da geometria grega fez as delicias de agrimensores e poetas.

Um dia, enquanto descansava de não fazer nada na sua estufa, monsieur Descartes fixou a sua atenção na mosca que passeava pelo tecto. Para localizá-la inventou os sistemas de coordenadas, e com eles a geometria tornou-se analítica, tornou-se número, e abriu-se às mais estranhas fórmulas. E os engenheiros foram felizes.

Mas não aqueles matemáticos, que sempre olharam de lado o quinto axioma de Euclides. Por fim os mais ousados renegaram o axioma da paralela única e inventaram as geometrias não euclidianas. Com elas o espaço fez-se curvo e os físicos reinventaram o universo.

Contudo, a geometria nunca pôde modelar a forma das nuvens ou dos fetos, nem a disposição das montanhas, nem a formação das plantas, animais e seres humanos. Até que chegou Mandelbrot, que revelou a rugosidade do real e deu nome a uma nova forma de olhar: chamou-lhe geometria fractal.

Os fractais são formas rugosas que preenchem o vazio tão densamente que alcançam dimensões superiores às da linha ou da superfície: retorcem-se para preencher cada nicho, cada meandro do espaço, fazem-no copiando-se a si próprias em distintas e incessantes escalas. É graças a esta característica, a auto semelhança, que os fractais se adaptam tão bem à representação de certas formas naturais. Mas há mais, porque os fractais não são somente objectos científicos ou técnicos, são também estéticos, que é possível explorar graças a esta janela que é o monitor do computador. Mas isso já é outra história...

Traduzido de Epsilones

quinta-feira, 20 de novembro de 2008

Geogebra

Dei-me agora conta de que para conseguirem abrir os ficheiros em Geogebra anexados a esta página, têm que instalar o Geogebra no vosso computador.

Isso é simples, já que este programa de Geometria Dinâmica é freeware (grátis às Damas e ... aos Cavalheiros, também) e podem descarregá-lo aqui.

terça-feira, 18 de novembro de 2008

Uma aplicação (interactiva) do Teorema de Pitágoras






A que distância vês o horizonte?
Clica aqui!

(Ficheiro obtido a partir de Geometría Dinámica).

segunda-feira, 17 de novembro de 2008

"Pit" no espaço!

E o Teorema de Pitágoras no espaço?
Alguém quer contribuir?...

Aqui vai uma contribuição. E mais outra.

(Ficheiros obtidos a partir de Geometría Dinámica).

O Teorema de Pitágoras III

Demonstração do teorema de Pitágoras generalizado

O surpreendente é que a relação estabelecida pelo Teorema de Pitágoras se pode generalizar a todo terno de figuras semelhantes cujos comprimentos formem um terno pitagórico. Se em vez três aborrecidos quadrados desenharmos sobre um triângulo rectângulo três gatos de Cheshire, a área da superfície ocupada pelo desenho do maior dos três será igual à soma das áreas dos outros dois desenhos.

A demonstração deste facto é praticamente trivial:

Seja a um comprimento qualquer do gato grande (pode ser a sua largura, mas também a distância entre os extremos das orelhas, ou a amplitude do seu sorriso). Sejam b e c os mesmos comprimentos mas medidos nas outras duas imagens, b para o gato médio e c para o pequeno. a, b e c formam um terno pitagórico, ou seja, cumprem:

a^2 = b^2 + c^2 [1]

Sejam A, B e C as áreas das superfícies ocupadas pelo desenho de cada um dos gatos, do maior ao menor. É sabido que se duas figuras são semelhantes, o quociente entre as suas áreas é igual ao quadrado do quociente entre os seus comprimentos.

Portanto: B/A = (b/a)^2 , C/A = (c/a)^2

Simplificando: b^2 = a^2. B/A, c^2 = a^2. C/A

Substituindo em [1], vem: a^2 = a^2. B/A + a^2. C/A

Simplificando: A = B + C.

A partir de Epsilones

Para além do teorema de Pitágoras - II

As lúnulas e o triângulo

Seja [ABC] um triângulo rectângulo. Tracemos o semicírculo circunscrito ao triângulo, e os dois semicírculos de diâmetros [AB] e [AC] exteriores ao triângulo. A soma das áreas das lúnulas assim obtidas é igual à área de outra das superfícies que se vêm na figura. De que superfície se trata?
Nota: as medidas concretas do triângulo não importam. Não se trata de fazermos contas e procurarmos alguma coincidência.


Solução:

A soma das áreas das lúnulas coincide com a área do triângulo [ABC].

Uma variante

A terceira linha do desenvolvimento anterior é na realidade una demonstração do teorema de Pitágoras para semicírculos. Dando por sabido o teorema de Pitágoras generalizado, a demonstração fica assim:


Seja L a área das lúnulas:

L = b + c + d - a

Pelo teorema de Pitágoras generalizado,

a = b + c

Então

L = b + c + d - (b + c)

L = d

A partir de Epsilones

domingo, 16 de novembro de 2008

Um passo para além do Teorema de Pitágoras

Embora o Teorema de Pitágoras esteja por aí há milhares de anos, a variedade de provas e de ideias que dele decorrem continuam a fascinar-nos. Há várias formas de enunciar o teorema.

Por exemplo:
Dado um triângulo rectângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

ou - Dado um triângulo rectângulo, a soma das áreas dos dois quadrados construídos a partir dos catetos desse triângulo é igual à área do quadrado construído a partir da hipotenusa desse triângulo.
(Ver aqui e aqui duas demonstrações interactivas do Teorema de Pitágoras em Geogebra).

Agora, descubramos uma variação desta última forma. Suponhamos que em vez de somarmos as áreas dos quadrados construídos nos catetos e na hipotenusa, somamos as áreas de outras figuras geométricas semelhantes, e verifiquemos se o teorema ainda continua verdadeiro. Resultará sempre para objectos semelhantes?


Área do círc
ulo A = (1/2).(a/2)^2.pi = (a^2.pi)/4
Área do círculo B = (1/2).(b/2)^2.pi = (b^2.pi)/4
Área do círculo C = (1/2).(c/2)^2.pi = (c^2.pi)/4

E, comparando as suas áreas vem:
(a^2+b^2)
.pi/4 = c^2.pi/4

Traduzido de "More joy of Mathematics" de Theoni Pappas


E para gatos?! :-)
O gato da "Alice no país da maravilhas" de Lewis Carroll (pseudónimo do escritor e matemático
Inglês, Charles Lutwidge Dodson).