Matmagias

2009-10-29T15:03:00.004Z

Efectivamente nada muda já como soía.
So, I decided to change and this blog ends...

That's all folks!!!

Maria José

SECÇÃO num cubo

2009-10-23T21:28:00.001+01:00

Para alterar a secção arrasta um dos dos dois pontos mais "gordos", vértices da secção. Podes também alterar o ponto de vista da secção movendo o cubo com o botão direito do rato.

O programa Cabri 3D não é shareware, mas pode-se fazer o download por um mês de uma evaluation version em http://www.cabri.com/
Podes fazer o download do Manual do Cabri 3D (Português) em: http://www.box.net/shared/q5gp564ilh

Recomeçamos...

2009-10-16T22:19:00.002+01:00

O Dodecaedro

Construção encontrada em Cabri 3D

Piero della Francesca
por Javier Krahe

Madonna del parto 1467
Fresco, 260 x 203 cm
Museo de la Madonna del Parto, Monterchi (Arezzo)

Be Happy 2!

2009-06-15T21:35:00.007+01:00

Depois do "bi.e^p" do post anterior achei que fazia mais sentido este

Por um lado porque me parece que fica mais bonito, e depois porque, como vimos no post "Números complexos. Para acabar em beleza!", e^(pi)=-1
donde,um imaginário puro! :)
mj

Be Happy!

2009-06-11T21:57:00.010+01:00

Números complexos

2009-06-11T11:14:00.000+01:00

Para acabar em beleza!...

Bibliografia:
BetterExplained

"Observando o rosto do professor de Matemática"

2009-06-05T19:22:00.010+01:00

O texto que acompanha o retrato da esquerda diz:

"Nas aulas de Matemática, a minha atenção estava antes de mais posta na cara do professor. Às vezes parecia como se a sua pele fosse transparente e pudesse ver o seu cérebro preenchido por uns vistosos pedacitos multicolores."

Observando o rosto do professor de Matemática.
Pavel Péppershtein, 1984

A partir de Epsilones

Ainda a propósito dos números complexos

2009-06-02T14:14:00.001+01:00

Os números complexos aparecem pela primeira vez no século XVI, a propósito das equações algébricas do 3º e 4º graus, cujas fórmulas resolventes foram descobertas por matemáticos italianos (Scipione del Ferro e Tartaglia).

Tem em conta também que é possível fazer certas concessões ao
engenho, como é frequente nos livros de história.

Cardano. De propria vita. 1576

Há uma estória muito conhecida relativamente a esta descoberta.
Scipione del Ferro descobriu a fórmula resolvente para as equações cúbicas e não a divulgou (hábito da época: ficaria para ser utilizada nos desafios que, matemáticos e outros pensadores, se faziam mutuamente).
Scipione del Ferro morre e deixa a fórmula em testamento ao seu genro Annibale della Nave e ao seu aluno Antonio Maria Del Fiore.

Del Fiore desafia Tartaglia, um matemático considerado, a resolver uma série de problemas, cuja resolução dependia do conhecimento da fórmula resolvente.
Tartaglia depois de estar dias e noites à volta destes problemas acabou por chegar, também ele, à fórmula resolvente das equações algébricas do 3º grau.
No dia aprazado para a resolução em praça pública dos problemas, Tartaglia resolve-os sem errar um sequer. O mesmo não aconteceu com os problemas que Del Fiore tinha, em contrapartida, que resolver.

Cardano, um matemático também muito considerado na época, teve conhecimento deste feito e pediu insistentemente a Tartaglia que lhe revelasse a fórmula.
Tartaglia, após tanta insistência de Cardano, acabou por lhe revelar a fórmula, o que fez em verso (rimas que escreveu para facilitar a sua memorização).
Cardano jurou de forma solene a Tartaglia não dar conhecimento da fórmula a ninguém. Mas, segundo parece, terá falado deste assunto com o seu aluno: Ludovico Ferrari.
Os dois, Cardano e Ferrari, pensando que a fórmula estaria no meio dos papéis de Del Ferro, foram lá vasculhar e encontraram-na.
Cardano publica, então, a fórmula no seu livro Ars Magna.

Ferrari encarrega-se de desacreditar Tartaglia.
Não valeu de nada a Tartaglia revoltar-se.
Que ingénuo fui, pensou Tartaglia. Mas agora já nada tinha remédio.

Bibliografia:
Francisco Martín Casalderrey
Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento Italiano.
Capítulo 4
Nivola, 2000

Banda desenhada: Lolita Brain

Números II

2009-05-24T16:56:00.002+01:00

Bibliografia: Compêndio de Matemática
José Sebastião e Silva

Números I

2009-05-14T21:29:00.007+01:00

Castiço, não?!
Uma private joke Matemática.

Piiiiii de novo _ II

2009-05-11T19:54:00.006+01:00

"Arquimedes (*) usou o método [da exaustão: precursor dos métodos do cálculo diferencial (limites, derivadas, essas coisas...)] para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for grande o número de lados do polígono."

"(*) Arquimedes foi um matemático, físico e inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistas e matemáticos da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos."

Em Wikipédia

Piiiiii de novo _ I

2009-05-08T22:35:00.006+01:00

Ideia da imagem obtida a partir de http://betterexplained.com/

A propósito de fractais

2009-05-08T21:50:00.004+01:00

Célia, Mário e Maria José

Fractais

2009-05-04T21:22:00.011+01:00

"O meu trabalho sempre tentou unir o verdadeiro e o belo; mas, quando tive de escolher entre um e o outro, escolhi normalmente o belo".

Hermann Weyl

"A beleza matemática não pode ser definida mais do que a beleza na arte, mas as pessoas que estudam Matemática não têm, em geral, qualquer dificuldade em a apreciar".

Paul Dirac

Os fractais são formas rugosas que preenchem o vazio tão densamente que alcançam dimensões superiores às da linha ou da superfície: retorcem-se para preencher cada nicho, cada meandro do espaço, fazem-no copiando-se a si próprias em distintas e incessantes escalas. É graças a esta característica, a auto semelhança, que os fractais se adaptam tão bem à representação de certas formas naturais. Mas há mais, porque os fractais não são somente objectos científicos ou técnicos, são também estéticos, que é possível explorar graças a esta janela que é o monitor do computador.

ver mais em http://matmagias.blogspot.com/2008/11/geometrias.html

e por que não também em http://dererummundi.blogspot.com/2008/08/os-jardins-secretos-de-mandelbrot.html
que continua em http://dererummundi.blogspot.com/2008/08/os-jardins-secretos-de-mandelbrot_13.html
Vale mesmo a pena!

Relaxa e disfruta

Potências de dez

2009-04-30T14:49:00.005+01:00

Das partículas elementares aos confins do Universo.

Para "desstressar"

2009-04-28T20:15:00.005+01:00

de Peter Jacobs
Bolhas! Empurre-as, junte-as, veja-as dançar!

Sem sentido, mas divertido.

P - para fazer pausa e qualquer outra tecla para reset.

Trigonometria

2009-04-28T19:43:00.010+01:00

Por todo o mundo são lançados selos com temas de Matemática.Estes têm a ver com a Trigonometria.
O primeiro é da ex-URSS (reparem no estilo soviético: um pouco Estado Novo, não?), o segundo da Grã-Bretanha, o último é com o nosso Pedro Nunes.

Pedro Nunes

"Nascido em Alcácer do Sal, em 1502, e falecido em Coimbra a 11 de Agosto de 1578, também conhecido pela versão latinizada do seu nome, Petrus Nonius Salaciensis (determinativo derivado do velho nome romano de Alcácer), foi um dos grande vultos da cultura humanista em Portugal e porventura o maior matemático e cientista português do século XVI."

in Instituto Camões
(visitem, vale a pena!)

António Gedeão

2009-04-25T14:19:00.009+01:00

Rómulo de Carvalho - O poeta professor de Física ou o professor de Física poeta?

Poema para Galileo

Estou olhando o teu retrato, meu velho paisano,

aquele teu retrato que toda a gente conhece,

em que a tua bela cabeça desabrocha e floresce

sobre um modesto cabeção de pano.

Aquele retrato da Galeria dos Ofícios da tua velha Florença.

(Não, não, Galileo! Eu não disse Santo Ofício.

Disse Galeria dos Ofícios.)

Aquele retrato da Galeria dos Ofícios da requintada Florença.

Lembras-te? A Ponte Vecchio, a Loggia, a Piazza della Signoria…

Eu sei… eu sei…

As margens doces do Arno às horas pardas da melancolia.

Ai que saudade, Galileo Galilei!

Olha. Sabes? Lá em Florença

está guardado um dedo da tua mão direita num relicário.

Palavra de honra que está!

As voltas que o mundo dá!

Se calhar até há gente que pensa

que entraste no calendário.

Eu queria agradecer-te, Galileo,

a inteligência das coisas que me deste.

Eu,

e quantos milhões de homens como eu

a quem tu esclareceste,

ia jurar- que disparate, Galileo!

- e jurava a pés juntos e apostava a cabeça

sem a menor hesitação-

que os corpos caem tanto mais depressa

quanto mais pesados são.

Pois não é evidente, Galileo?

Quem acredita que um penedo caia

com a mesma rapidez que um botão de camisa ou que um seixo da praia?

Esta era a inteligência que Deus nos deu.

Estava agora a lembrar-me, Galileo,

daquela cena em que tu estavas sentado num escabelo

e tinhas à tua frente

um friso de homens doutos, hirtos, de toga e de capelo

a olharem-te severamente.

Estavam todos a ralhar contigo,

que parecia impossível que um homem da tua idade

e da tua condição,

se tivesse tornado num perigo

para a Humanidade

e para a Civilização.

Tu, embaraçado e comprometido, em silêncio mordiscavas os lábios,

e percorrias, cheio de piedade,

os rostos impenetráveis daquela fila de sábios.

Teus olhos habituados à observação dos satélites e das estrelas,

desceram lá das suas alturas

e poisaram, como aves aturdidas- parece-me que estou a vê-las -,

nas faces grávidas daquelas reverendíssimas criaturas.

E tu foste dizendo a tudo que sim, que sim senhor, que era tudo tal qual

conforme suas eminências desejavam,

e dirias que o Sol era quadrado e a Lua pentagonal

e que os astros bailavam e entoavam

à meia-noite louvores à harmonia universal.

E juraste que nunca mais repetirias

nem a ti mesmo, na própria intimidade do teu pensamento, livre e calma,

aquelas abomináveis heresias

que ensinavas e descrevias

para eterna perdição da tua alma.

Ai Galileo!

Mal sabem os teus doutos juízes, grandes senhores deste pequeno mundo

que assim mesmo, empertigados nos seus cadeirões de braços,

andavam a correr e a rolar pelos espaços

à razão de trinta quilómetros por segundo.

Tu é que sabias, Galileo Galilei.

Por isso eram teus olhos misericordiosos,

por isso era teu coração cheio de piedade,

piedade pelos homens que não precisam de sofrer, homens ditosos

a quem Deus dispensou de buscar a verdade.

Por isso estoicamente, mansamente,

resististe a todas as torturas,

a todas as angústias, a todos os contratempos,

enquanto eles, do alto incessível das suas alturas,

foram caindo,

caindo,

caindo sempre,

e sempre,

ininterruptamente,

na razão directa do quadrado dos tempos.

António Gedeão

Resposta-:)

Poeta e professor: Pessoa!

-:)

2009-04-24T17:36:00.008+01:00

A primeira imagem é de Charlie Smith, a segunda é de algum sítio na internet (já não sei de onde -:)

Fotografia infinita

2009-04-20T21:38:00.005+01:00

Traduzido a partir de Microsiervos

O Universo mecânico - Derivadas

2009-04-16T21:58:00.005+01:00

Vale a pena!

Este é, segundo me parece, um filme de origem Argentina (de martimarti). Apesar de ser falado em Espanhol entende-se muito bem.

el universo mecánico-3-derivadas.a
Enviado por martimarti

Boa Páscoa!

2009-04-10T22:06:00.003+01:00

Que giro, não é?!

Tentando desenhar um ovo (para a Páscoa!) surgiu isto - o ovo está sempre a tentar formar-se mas não o conseguirá a não ser que coloquem o rato no centro do sketch.

Lib4tech

Função derivada de uma função cúbica

2009-04-07T22:00:00.005+01:00

Centra o applet com auxílio dos cursores lateral e inferior.
Arrasta o ponto P.
Activa a(s) caixa(s) para exibir/esconder objectos.

Repara na nova correspondência que foi estabelecida entre a abcissa do ponto P e o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto P.
A esta nova correspondência dá-se o nome de função derivada de f, e representa-se por f'.

Derivada, a linguagem do movimento II: Os "achadores"

2009-04-04T10:19:00.008+01:00

Bibliografia

Imagens: Várias páginas na Internet (motor de busca: Google).

“e: História de um número” de Eli Maor – Edições Gradiva.

Derivada: a linguagem do movimento I

2009-04-03T21:44:00.010+01:00

Bibliografia:
"Matematicas en tu mundo"
Infinito 11

Problemas/jogos de Lógica

2009-03-28T21:59:00.007Z

Ora joga!

Neste jogo tens de trocar a posição das rãs verdes com as rãs castanhas.

e... neste tens que:

Ajudar a família a atravessar a ponte. Tem em conta que é noite e precisam da lanterna para atravessar.
Cada membro atravessa a uma velocidade distinta (1 seg., 3 seg., 6 seg., 8 seg e 12 seg.)
A ponte resiste a um máximo de 2 pessoas.
Um par atravessa a ponte à velocidade do membro mais lento.
A lanterna só dura 30 segundos.

Colaboração da Orquídea Santos

Prémio Estatístico Júnior 2009

2009-03-28T21:06:00.006Z

Notícia da Sociedade Portuguesa de Estatística

"Candidaturas abertas até dia 29 de Maio de 2009

À semelhança de anos anteriores, a Sociedade Portuguesa de Estatística promove o Prémio Estatístico Júnior 2009, com o patrocínio da Porto Editora.
Pretende-se com esta iniciativa incentivar o interesse pela Probabilidade e pela Estatística no ensino básico e secundário.

O Boletim de Inscrição e o Regulamento estão disponíveis em:

http://www.spestatistica.pt/static/docs/RegulamentoPEJ09.pdf

http://www.spestatistica.pt/static/docs/BoletimCandidaturaPEJ09.pdf

Poster ganhador em 2008: http://www.spestatistica.pt/static/docs/PosterPEJ2008.pdf"

Microsoft WorldWide Telescope

2009-03-28T19:04:00.006Z

Espreitem... Vale a pena!

http://www.worldwidetelescope.org/webclient/

Mocrosoft WorldWide Telescope na web

WWT é uma programa que converte um computador com Windows numa espécie de telescópio virtual, mostrando as melhores imagens do espaço obtidas com diversos instrumentos terrestres e espaciais.

Encontrado em Microsiervos

Jogos Matemáticos

2009-03-27T22:06:00.007Z

Jovens em campeonato de matemática

Mil e quinhentos jovens adeptos da Matemática participaram na final do quinto Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos, que decorreu na Covilhã.

in noticias.rtp.pt

Três alunos da nossa Escola participaram neste campeonato. Rezam as crónicas que gostaram muito da experiência e que se estão a preparar para a repetir no próximo ano lectivo.

Hoje é dia do Pi

2009-03-14T18:42:00.006Z

Em http://pi.ytmnd.com/ pode-se ouvir uma canção sobre o número π cujo autor é Kraln.
A letra, embora seja irracional, resulta transcendente.

adaptado de Epsilones

Mais uma experiência...

2009-03-14T11:42:00.008Z

Experimenta! Faz algumas construções...

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that
Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install
Java now)

Deves, depois de selecionar o último ícone do lado direito em cima (com uma espécie de cruz), centrar o referencial, arrastando-o.
De seguida, diminui a "faixa" à esquerda arrastando o separador. Ou, então, vai a exibir e desselecciona a "zona algébrica".
E... depois experimenta!
Para já foi o que deu para fazer mais... -:) MJ

Pi_2

2009-03-07T11:33:00.004Z

Aproxima-se o dia do Pi (14/3)

2009-03-05T09:19:00.005Z

Pi_1

Em xkcd

Mais um graffiti matemático

2009-03-03T15:14:00.011Z

versus

Outro vídeo do Math Film 2008

2009-03-02T15:45:00.004Z

Chebyshevs Foot-Stepping Machine

Área do círculo

2009-03-01T18:32:00.006Z

Mais um vídeo do Math Festival

2009-02-28T12:12:00.003Z

Moebius Transformations Revealed
Um pequeno filme mostrando a beleza das transformações de Moebius. O filme mostra como ao movermo-nos para uma dimensão superior as transformações ficam mais fáceis de entender.

Desafio 1

2009-02-26T21:45:00.012Z

Pretendemos, com uma periodicidade quinzenal, colocar aqui um desafio que é, em primeiro lugar, dirigido aos nossos alunos, mas ao qual pode responder qualquer um que se sinta desafiado. As respostas podem ser enviadas através dos comentários.

Ficamos à espera...

A incrível coroa circular

Considera qualquer coroa circular obtida a partir de dois círculos concêntricos, como as ilustradas nas figuras abaixo. Consegues mostrar que a área da coroa circular é igual à área de um círculo cujo diâmetro é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor?

Estrela

2009-02-25T18:02:00.008Z

Mais uma experiência...
Para mover (se der...) a Stella faça-o com o botão direito do rato.

O programa Cabri 3D não é shareware, mas pode-se fazer o download por um mês de uma evaluation version em http://www.cabri.com/

Applet em Geogebra

2009-02-24T10:02:00.014Z

Experiência: 1, 2, 3, ...

Ainda falta qualquer coisa. Vou aprender...
-:)MJ

A magia está no olhar...

2009-02-20T22:31:00.010Z

Os números poligonais são números cujas formas estão relacionadas com as formas de polígonos regulares.

Foram deduzidas propriedades matemáticas estudando as formas que estes números compõem. Por exemplo, estudando as formas dos números quadrados, a soma dos n primeiros termos da sucessão dos números ímpares pode ser determinada.

Imagens produzidas no Smart Board

A propósito do dia dos namorados: "menos" por "menos" dá "mais" ...

2009-02-14T15:00:00.006Z

Aula de Matemática
Tom Jobim - Marino Pinto

Graffiti matemático

2009-02-13T22:38:00.018Z

imagens obtidas a partir de http://www.oei.es/oim/

Sierpinski Valentine

2009-02-13T13:52:00.003Z

em xkcd

Parabéns, Darwin!

2009-02-12T09:43:00.007Z

Passam hoje 200 anos sobre o nascimento de Darwin.

Darwin 2009 - Paulo Mota

Um vídeo de CvTv - Ciência em Imagens

Calendário de exames - 2009

2009-02-11T21:34:00.004Z

Saiu no DR o Despacho n.º 3536/2009 .
Neste Despacho encontra-se a legislação aplicável aos Exames Nacionais em 2009 bem como o prazo para a inscrição nos mesmos (de 2 a 11 de Março).
Calendário de exames - 1ª fase
Calendário de exames - 2ª fase

Infinito menos infinito... quanto é?

2009-02-11T19:30:00.008Z

Traduzido de um artigo de Epsilones (um sítio que vale a pena visitar...)

Pergunta feita por um dos leitores de Epsilones:

De acordo com as definições que obtive, infinito não é um número mensurável. Portanto, dado que não há forma de conhecer as quantidades que estou subtraindo, em minha opinião, infinito menos infinito é INFINITO.

Tenho vários colegas que diferem, sendo a sua opinião de que o resultado é zero ou se encontra perto de zero.
________________________________________________________________

Antes de podermos dizer qual é o resultado de uma operação, há que nos perguntarmos o que significa exactamente. O que significa subtrair dois infinitos? Para tentarmos fazer uma ideia, vamos a aproximar-nos da questão a partir de dois pontos de vista diferentes: um analítico e outro de conjuntos.

Aproximação analítica

Infinito pode ser o resultado de uma passagem ao limite. Podemos ver o que se passa quando subtraímos duas sucessões de limite infinito.

Sejam as sucessões seguintes:

a_n = n;
b_n = n²;
c_n = n + k, onde k é um número real qualquer.
lim a_n = lim b_n = lim c_n = +∞

Agora, se subtrairmos as sucessões e tomarmos limites, temos:
lim (b_n - a_n) = lim (n²- n) =+ ∞
lim (c_n - a_n) = lim (n + k - n) = lim k = k

Conclusão provisória: ao subtrairmos duas sucessões de limite infinito, a sucessão resultante pode ter por limite qualquer coisa.

Aproximação conjuntista

O Infinito também pode ser o cardinal de um conjunto, ou seja, o número de elementos que esse conjunto tem. A ideia agora é tomarmos um conjunto de cardinal infinito, subtrair-lhe subconjuntos de cardinal também infinito, e ver qual é o cardinal do conjunto resultante. Não é muito diferente do que fazemos quando para explicar a uma criança quanto é três menos dois lhe dizemos: “se tenho três maçãs e como uma, com quantas maçãs fico?”.
Sejam os conjuntos seguintes:

IN = {1, 2, 3, 4 ...}, ou seja, o conjunto dos números naturais .
P = {2, 4, 6, 8 ...}, ou seja, o conjunto dos números pares.
I = {1, 3, 5, 7 ...}, ou seja, o conjunto dos números ímpares.
A1 = IN - {1}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1.
A2 = IN - {1,2}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1 e 2.
An = IN - {1, 2,..., n}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1, 2, 3, ... ,n

Entenderemos por A - B o conjunto resultante de tirar ao conjunto A os elementos do conjunto B. Vejamos alguns casos:

1. IN - IN = Ø
Se ao conjunto dos números naturais lhe tirarmos todos os números naturais, o que nos sobra? Nada, claro. Ao conjunto que não tem elementos em matemática chamamos conjunto vazio.
Portanto, ∞ - ∞ = 0.

2. IN - P = I
Está claro - se aos números naturais lhe tirarmos os pares ficam os ímpares.
Então: ∞ - ∞ = ∞.

3. IN - A1 = {1}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1.
Então: ∞ - ∞ = 1.

4. IN-An = {1, 2, ..., n}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1, 2, 3, ... n.
Então: ∞ - ∞ = n.

Conclusão: se a um conjunto com uma quantidade infinita de elementos lhe tirarmos una quantidade infinita de elementos, o conjunto resultante pode ter... qualquer quantidade de elementos, inclusive nenhum.

Conclusão provisória:
Nenhuma das duas aproximações nos dá uma ideia de como podemos definir a diferença de infinitos para que tenha sentido. Eu não conheço nenhuma, mas isso não quer dizer nada, claro.

Vamos jogar!

2009-02-10T16:19:00.017Z

"Diz-se que os primeiros quebra-cabeças surgiram quando alguns mapas começaram a ser colados em chapas de madeira em pequenos pedaços, por volta do Século XVIII. Em linhas gerais, um Jogo de Quebra-Cabeça trata de resolver um problema, que normalmente está ligado com a estratégia e um raciocínio matemático. Os quebra-cabeças são normalmente entendidos como um simples passatempo, mas para quem conhece este tipo de jogo, sabe que em alguns deles pode-se ter um certo tratamento matemático, principalmente algébricos e geométricos. Com o objetivo de facilitar o acesso Simon Tatham e sua equipa desenvolveram o Simon Tatham's Portable Puzzle Collection. Trata-se de uma colecção de jogos em Java que podem ser acessados tanto pela Web quanto em seu desktop. Todos eles são compatíveis com Windows, Linux e outras plataformas que suportam a tecnologia Java. A licença é MIT licence.

O site oficial é: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/

Além de possuir os jogos, existem os manuais."

A partir de Blog do Prof. Jean Piton

Canguru Matemático

2009-02-05T15:57:00.006Z

Podes inscrever-te junto do teu professor de Matemática até ao dia 8 de Março.

"A Associação Canguru sem Fronteiras é uma associação de carácter internacional que junta personalidades do mundo da matemática de diversos países. O seu objectivo é promover a divulgação da matemática elementar por todos os meios ao seu alcance e, em particular, pela organização de um concurso que terá lugar no mesmo dia em todos os países participantes.
(...)
O Concurso "Canguru Matemático" contribui para a popularização e promoção da matemática nos jovens. O concurso pretende atrair o máximo número de alunos sem pretender selecionar os alunos a nível nacional nem comparar os resultados com os diversos países. O Concurso é para TODOS os alunos e não é apenas para os que tiverem melhores notas. Não existe uma selecção prévia.

Objectivos

Estimular o gosto e o estudo pela Matemática.
Atrair os alunos que têm "medo" da disciplina de Matemática, permitindo que estes descubram o lado lúdico da disciplina.
Tentar que os alunos se divirtam a resolver questões matemáticas.
Conseguir que cada aluno, através da Matemática, se sinta bem consigo mesmo e com os demais colegas.
Aumentar todos os anos o número de participantes no concurso a nível nacional e tentar atingir as cotas de participação de outros países europeus.

O concurso consiste numa única prova: não existe nenhuma selecção prévia nem existe uma prova final. Existem cinco níveis, de acordo com as idades dos alunos. A prova consiste num questionário de escolha múltipla de cerca de trinta questões de dificuldade crescente."

em http://www.mat.uc.pt/canguru/

Limite de uma função

2009-02-05T10:41:00.006Z

Limite de uma função segundo Heine

Sendo f uma função real de variável real, diz-se que

lim f(x) = b
x-> a

se e só se a qualquer sucessão (x(n)) de termos pertencentes ao domínio de f que tende para a (finito ou infinito) por valores diferentes de a, corresponde uma sucessão de imagens f(x(n)) que tende para b.

A árvore matemática das fórmulas

2009-01-30T15:25:00.002Z

Nesta curiosa árvore matemática cada ramo divide-se em diversos tipos de fórmulas relacionadas entre si e os diversos campos que abarca a mais exacta das ciências.

em Microsiervos

Conjunto infinitos

2009-01-29T16:47:00.002Z

Haverá mais números inteiros ou números pares?

Parece uma questão simples, não? Afinal, cada número par é um número inteiro. Mas o que se passa com todos os números pares? Há, então, mais números inteiros do que números pares, não? Mas esperemos um minuto. Quantos números pares existem? São em número infinito. E quantos inteiros existem? Infinitos. Hmmmm....

"Infinito," diz o estudante de Matemática A, "é só um termo... não há maneira de me demonstrares que são em igual número.”

"Ok, vamos jogar..." diz o estudante de Matemática B. "Indica-me um inteiro, e eu indicar-te-ei um número par que lhe corresponda. E se dois dos teus números inteiros são diferentes, eu garanto-te que os meus dois números pares também serão diferentes.”

Estudante de Matemática A: Ok... 1

Estudante de Matemática B: 2

A: 2

B: 4

A: 18

B: 36

A: -100

B: -200

A: n

B: 2n

A: Estou a começar a ver o que queres dizer. Mas pensemos em alguma da teoria de conjuntos que aprendemos nas aulas. O conjunto dos números pares está contido no conjunto dos números inteiros, mas não é igual a esse conjunto. Portanto estes dois conjuntos não podem ter o mesmo tamanho.

O paradoxo caracterizado pelo problema anterior confundiu os matemáticos durante séculos. No seu âmago encontra-se um perturbante conceito que tem perseguido os matemáticos: infinito. Em 1874 George Cantor definiu um sistema com graus de infinito que resolveu o problema de uma vez por todas e aumentou grandemente a compreensão dos matemáticos do infinito e da teoria dos conjuntos.

A solução de Cantor: Numerabilidade

No exemplo anterior, o estudante B fez corresponder a cada número inteiro o seu dobro, o que resultou na seguinte correspondência:

...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10...

Os números inteiros podem ser postos em correspondência com os números naturais, da seguinte forma:

1, 2, 3, 4, 5,...
0, -1, 1, -2, 2,...

Cantor, então, apresentou a seguinte definição:

Definição: Dois conjuntos são iguais em magnitude (i.e. tamanho) se os seus elementos podem ser postos em correspondência um a um, uns com os outros:

Isto significa que os números naturais, os números inteiros, e os números pares têm todos o “mesmo número” de elementos. Cantor designou o número dos números naturais pelo número transfinito (lê-se alef-zero). Para simplificação da notação, vamos chamar a este número d [denumerability, em Inglês].

Um conjunto é, então, numerável se e somente se pode ser escrito como uma sequência infinita {a₁, a₂, a₃...}. Neste caso a₁ corresponde ao número natural 1, a₂ a 2, e por aí fora.

Números que representam a magnitude de conjuntos são chamados números cardinais. Para conjuntos finitos, os números cardinais são os números naturais. Um número cardinal X diz-se maior do que um número cardinal Y, se um conjunto de magnitude X tem um subconjunto estrito (um subconjunto que não é igual ao próprio conjunto) de ordem Y, mas um conjunto de ordem Y não tem um subconjunto próprio de ordem X. Uma vez que cada conjunto infinito contém um conjunto do tipo {a1, a2, a3...}, d é o menor número transfinito.

Teorema: o conjunto dos números racionais é numerável, ou seja, tem um número cardinal d.

Inicialmente, seriamos levados a pensar que há “mais” números racionais do que números naturais, uma vez que há um número infinito de outros números racionais entre dois quaisquer números racionais diferentes. Isto não é verdade. Cantor provou o teorema acima da seguinte forma:

Uma vez que d é o menor número transfinito, só precisamos de provar que um conjunto que contém os números racionais é numerável. Ou seja, o conjunto dos números racionais é um conjunto infinito, e assim tem magnitude d, e não pode ter magnitude superior à de um conjunto que nele esteja contido. Consideremos o conjunto:

Este conjunto contém os racionais (muitos deles mais do que uma vez). Agora, ordenemos este conjunto desta maneira:

Obtemos, então, um conjunto numerável: {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3...}

Agora comecemos com 0 e incluamos o simétrico de cada número, obtemos o conjunto:

{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3...}

Assim, um conjunto que inclui os números racionais foi colocado numa correspondência um a um sistemática com os números naturais:

Traduzido de http://mathforum.org/isaac/problems/cantor1.html

Falando com o infinito

2009-01-25T22:18:00.001Z

"Eu sou o INFINITO", declarou a voz profunda. "Ninguém me pode apanhar. Eu nunca acabo."

"Mas o que és tu?" perguntou Francisco, muito assustado e inquieto.

"Eu sou algo muito difícil para vocês meros Seres Terrestres perceberem", replicou o Infinito.

"Bem, tenta", disse Francisco num tom de voz mais seguro.

"Isto vai ser engraçado", continuou a voz. "Eu sempre existi, mas nem sempre fui conhecido pelos Seres Terrestres. Sou uma ideia que pode ser usada em muitas coisas - objectos, números, pontos. Sou uma quantidade que não pode ser agarrada. Pode-se dizer que estou sempre a mudar e a crescer. Eu não tenho fim."

Esta explicação pareceu confundir Francisco ainda mais. Finalmente, ele ficou impaciente e pediu, "por favor dá-me exemplos concretos."

"É exemplos que tu queres!" escarneceu o Infinito. "Eu sou o número de pontos deste segmento de recta

e o comprimento de qualquer linha recta. Eu sou o número dos números naturais, o número dos números inteiros, o número das fracções. Eu sou o número de números compreendidos entre 0 e 1/2."

"Espera um minuto", interrompeu Francisco. "Dos teus outros exemplos vejo que tu és um objecto gigantesco, mas não podem haver assim tantos números entre 0 e 1/2."

"Oh tolo Ser Terrestre, esqueceste-te de 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, etc., etc., etc? " Respondeu presumidamente o Infinito.

"Ah! Percebo", respondeu Francisco com animação nos olhos.

"Tudo o que não tenha limites é infinito".

"Não!" disse Infinito, um bocado irritado. "0 e 1/2 são limites para os números entre eles. Os extremos de um segmento de recta também são limites para os pontos do segmento."

"Portanto uma coisa é infinita se nunca voa para fora da matéria que a constitui", disse sem nexo Francisco. "E pode-se recobrir um grande espaço ou um pequeno espaço, como um segmento de recta, desde que haja sempre um outro, após o que foi mencionado anteriormente. Eu sei que isto soa a ambíguo, mas é isso o que tu és. Não é verdade?"

"Eu sou oINFINITO - nem mais, nem menos. INFINITO, INFINITO, INFINITO..." respondeu a voz profunda, com as palavras ecoando e esmorecendo ao longe. Francisco desenhou um segmento de recta num bocado de papel. Dobrou o papel e, com um sorriso de satisfação, meteu-o no bolso. Ele sabia que tinha agarrado uma infinidade e que cabia no seu bolso.

Theoni Pappas

O Infinito na Literatura

2009-01-16T12:47:00.000Z

"As Perturbações do Pupilo Törless"
Robert Musil

"Törless pôs-se a reflectir sobre isto; tentou ficar o mais possível calmo e pensar sensatamente. «É um facto que não há fim», dizia para consigo, tudo continua,continua sempre, até ao infinito». Mantinha os olhos presos ao céu e dizia isto como que para testar a força de uma fórmula mágica. Mas em vão; as palavras não diziam nada, ou antes, diziam qualquer coisa de muito diferente, como se falassem do mesmo objecto, mas de uma perspectiva estranha e indiferente.
«O infinito!» Törless conhecia o termo das aulas de Matemática. Nunca tinha imaginado nada de especial nessa palavra. Estava sempre a aparecer; alguém a teria inventado num dia, e desde então era possível fazer cálculos com ela, tal como com outras realidades sólidas. Era exactamente aquilo que via no cálculo, e Törless nunca buscara nela nada para além disso.
E agora estremecia, como se sentisse um choque, ao pensar que aquela palavra tinha qualquer coisa de terrivelmente inquietante. Via-a como um conceito domado, com o qual fazia diariamente pequenas habilidades, e que agora, subitamente, se libertara. Qualquer coisa que ia para além do entendimento, algo de indomável e destruidor, parecia ter ficado adormecido no trabalho de um qualquer inventor, e agora despertava de repente e era de novo aterrador. Estava ali, vivo, naquele céu sobre a sua cabeça, ameaçador e sarcástico.
Acabou por fechar os olhos, porque aquele espectáculo o torturava."

Uma imagem vale mais do que mil palavras?!...

2009-01-16T12:45:00.003Z

Há palavras que evocam mil imagens!
So sometimes we use words and ... others we use images.
If I could I would use both.

Aqui têm uma construção em Geogebra que permite visualizar gráficos de funções exponenciais e das respectivas inversas, funções logarítmicas.

Até ao infinito e mais além...

2009-01-16T12:44:00.002Z

Uma função exponencial

Ciência e Arte

2009-01-04T11:18:00.001Z

Ilusões de óptica

2009-01-03T21:53:00.000Z

Arte & Matemática

2009-01-03T21:48:00.001Z

Aqui há uns anos atrás foram transmitidos semanalmente na RTP2 uns filmes, de origem brasileira (TV Escola), com o título genérico de Arte & Matemática. Aqui está um deles: SIMETRIAS.
Há também um sítio, bem interessante, com este nome: ARTEMATEMÁTICA.
Vale a pena dar uma espreitadela!

Mais algumas informações sobre o número e

2009-01-03T21:37:00.001Z

e = 2,718281828...

e é um número irracional e é representado por uma sucessão infinita não periódica de dígitos. A irracionalidade de e foi provada em 1737 por Euler.
Charles Hermite em 1873 provou que e é um número transcendente; isto é, não pode ser solução de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.

O número e pode ser interpretado geometricamente de vários modos.

A área sob o gráfico de y = e^x de -infinito a 1 é igual a e.

A área sob a hipérbole y = 1/x de x =1 a x = e é igual a 1.

Fonte:"e: História de um número"
Eli Maor

O número e (parte IV)

2009-01-03T21:36:00.002Z

Esta série foi descoberta por Newton em 1665, e pode ser obtida da expansão binomial de (1+1/n)^n (*), fazendo n -> +infinito. Ela converge muito rapidamente, devido ao aumento rápido dos valores dos factoriais nos denominadores. Por exemplo, a soma dos primeiros onze termos (terminando com 1/10!) é 2,718281801; o valor real, aproximado a nove casas decimais é 2,718281828.

(*) Para desenvolver (1+1/n)^n utiliza-se o Binómio de Newton.

Então,

e …

As coisas só aparentemente não estão ligadas…

Fonte: "e:História de um número"

Eli Maor

O número e na cidade

2009-01-03T21:35:00.003Z

Geometer's Sketchpad
Olívia - Maria José

e - um número especial (parte II:)

2009-01-03T21:34:00.002Z

878 / 323 = 2,718266…

Esta é a melhor aproximação do número e utilizando uma fracção de números inteiros inferiores a 1000: com quatro dígitos de precisão. De certo modo parece-se com a conhecida 355/113 que está assombrosamente próxima de π (3,1415929… seis dígitos de precisão.)

em "e: História de um número"
Eli Maor

e - um número especial

2009-01-03T21:33:00.002Z

"É possível que, não importa quão elevado seja n, os valores de

(1 + 1/n)n estabilizem nalgum ponto em torno de 2,71828?"

"Esta intrigante possibilidade foi de facto confirmada por uma cuidadosa análise matemática. Não se sabe quem primeiro notou o comportamento peculiar da expressão (1 + 1/n)n quando n tende para mais infinito, por isso, a data exacta do nascimento do número que mais tarde seria designado por e permanece obscura. Parece provável, no entanto, que as suas origens recuem até ao início do século XVII, por volta da época em que Napier inventou os logaritmos.

Aquele período foi marcado por um enorme crescimento do comércio internacional e as transacções financeiras de todos os tipos proliferaram. Em consequência, foi dada bastante atenção à lei dos juros compostos, e é possível que o número e tenha sido reconhecido pela primeira vez nesse contexto. Contudo, questões não relacionadas com juros compostos também levaram ao mesmo número na mesma época.

O processo matemático que se encontra na base de e é a passagem ao limite."

em "e: História de um número” de Eli Maor
Gradiva – Trajectos Ciência

BANCO DE ITENS

2009-01-02T16:25:00.012Z

Ainda no sítio do GAVE (em http://bi.gave.min-edu.pt/bi/es/) encontram o chamado Banco de Itens, no qual, por disciplina e por ano, têm perguntas de exames.
Podem criar a vossa mochila de itens e nela guardarem as perguntas que entenderem, por temas, por exemplo. A estas perguntas podem responder on-line ou imprimi-las para resolver/responder mais tarde.

Dêem lá uma saltada. Vale a pena!

Testes intermédios

2009-01-02T15:59:00.009Z

No passado dia 10 de Dezembro realizou-se o primeiro teste intermédio deste ano lectivo.
Foi aplicado às turmas 12º ano com Matemática A.
Os próximos testes intermédios de Matemática A serão aplicados nas datas que constam no calendário da figura abaixo.

Mais informações em: http://www.gave.min-edu.pt/np3/9.html
Aqui encontram, para além de todas as informações que necessitarem sobre os testes intermédios, os seus enunciados, as respectivas correcções e critérios de correcção.

BOM ANO!

2009-01-02T15:48:00.002Z

Eu vi, como alguém que pode testemhunhar o trajecto de Vénus, uma quantidade passando pelo infinito e mudando de sinal de mais para menos. Vi exactamente como aconteceu (...) mas foi depois do jantar e passou-me.

Sir Winston Churchill, My Early Life (1930)

Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos

2008-12-19T22:12:00.003Z

À semelhança do ano lectivo anterior a nossa Escola inscreveu-se no Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. Está inscrita nos jogos Hex, Rastros e Avanço.
A fase final terá lugar na UBI-Covilhã a 13 de Março.
Ver e jogar em http://ludicum.org/cnjm/cnjm5/jogos_cnjm5/

Olimpíadas de Matemática

2008-12-19T21:44:00.014Z

Realizaram-se no passado dia 12 de Novembro as XXVII Olimpíadas de Matemática.
Na figura abaixo encontra-se a prova da 1ª Eliminatória - Categoria B. (Clica na imagem para ver melhor).
Podes fazer o download da prova e das soluções em http://www.spm.pt/olimpiadas/.

Na nossa Escola fizeram a prova da 1ª eliminatória 113 alunos (46-10º ano; 57-11º ano; 10-12º ano).

Apesar de se terem registado muitas classificações bastante baixas, os resultados globais subiram, relativamente ao ano passado.
O vencedor foi o mesmo aluno do ano passado (Pedro Marques 11CT8), com uma classificação excelente (34 pontos em 40 possíveis)! Já recebeu o prémio.
Com classificações a rondar os 20 pontos ficaram mais 4 alunos: Ana Henrique e Ana Luísa (10CT2), Luís Guimarães (10CT7) e Sofia Mendes (12CT1).

Bom Natal!

2008-12-18T21:27:00.001Z

Binómio de Newton

2008-12-16T16:28:00.005Z

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos

O Triângulo de Pascal (algumas curiosidades)

2008-12-16T16:23:00.004Z

Quem diria que tinha tanto sumo! -:)

E não fica por aqui, claro.

O padrão dos números pares (até à linha 11...).

E... somas rastejantes!

As Probabilidades na Literatura

2008-12-16T16:22:00.001Z

No Pêndulo Foucault - Umberto Eco

“Em Abulafia a palavra de ordem podia ser de sete letras. Quantas combinações de sete letras se podiam dar com as vinte e cinco letras do alfabeto, calculando também as repetições, porque nada impedia que a palavra fosse ‘cadabra’? Existe uma fórmula em qualquer parte, e o resultado devia ser de seis biliões e qualquer coisa. Tendo uma calculadora gigante, capaz de encontrar seis mil milhões de combinações a um milhão por segundo, teria porém de comunicá-la a Abulafia uma a uma, para as experimentar, e já sabia que Abulafia demoraria cerca de dez segundos para pedir e depois verificar a password. Portanto, sessenta mil milhões de segundos. Como um ano tem pouco mais de trinta e um milhões de segundos, façamos trinta para arredondar, o tempo de trabalho seria de cerca de dois mil anos. Nada mau.”

"Experimenta, escreve I, H, V, H, quando te pedir o input, e põe o programa a trabalhar. Talvez fiques mal: as combinações possíveis são só vinte e quatro.
- santos Serafins! E o que fazes tu com vinte e quatro nomes de Deus? Julgas que os nossos sábios não fizeram já o cálculo? Mas lê o Sefer Jerisah, décima sexta acção do capítulo quatro. E não tinham calculadoras. Duas Pedras constroem duas Casas. Três Pedras constroem seis Casas. Quatro Pedras constroem vinte e quatro Casas. Cinco Pedras constroem cento e vinte Casas. Seis Pedras constroem setecentas e vinte Casas. Sete Pedras constroem cinco mil e quarenta Casas. Daqui para diante vai e pensa no que a boca não pode dizer e a orelha não pode ouvir.’ Sabes como é que se chama hoje a isto? Cálculo factorial. E sabes porque é que a Tradição te avisa que daqui para diante é melhor desistires? Porque se as letras do nome de Deus fossem oito as combinações seriam quarenta mil e se fossem dez seriam três milhões e seiscentas mil, e as combinações do teu pobre nome seriam quase quarenta milhões, e agradece a Deus por não teres a middle initial como os americanos, senão chegarias a mais de quatrocentos milhões. E se as letras do nome de Deus fossem vinte e sete, porque o alfabeto hebraico não tem vogais, mas sim vinte e dois sons mais cinco variantes – os seus nomes possíveis seriam um número de vinte e nove algarismos. Mas deverias calcular também as repetições, porque não se pode excluir que o nome de Deus seja Alef repetido vinte e sete vezes, então o factorial já não te chegaria e terias de calcular vinte e sete à vigésima sétima: e terias, julgo eu, quatrocentos e quarenta e quatro biliões de biliões de biliões de possibilidades, ou pelo menos, de qualquer modo, um número de trinta e nove algarismos."

O paradoxo do aniversário

2008-12-16T16:19:00.002Z

Traduzido a partir de Gaussianos

Provavelmente muitos conhecerão o chamado paradoxo do aniversário, mas para aqueles não o conheçam passo a explicar:

Enunciado do paradoxo

Imaginem que num certo momento estão com um grupo de pessoas, por exemplo, numa reunião familiar ou num bar, qualquer grupo aleatório de pessoas dará. Digamos que há 25 pessoas. Coloco-vos a seguinte questão: Qual pensam que é a probabilidade de que nesse grupo de pessoas haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês?

Quem não conheça este assunto provavelmente responderá: Não sei, mas deve ser muito pequena. Pelo menos essa é basicamente a resposta que encontrei sempre que comentei este assunto.

Mas, a verdade é que não é nada pequena. Vejamos como poderíamos considerar o enunciado do paradoxo:

Numa reunião de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de que duas delas façam anos no mesmo dia do mesmo mês é de 0,507 ou seja, há 50,7% de possibilidades de que haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês.

Para as 25 pessoas do meu exemplo a probabilidade é de aproximadamente de 0,57, ou seja, quase 57%.

Basicamente o que nos diz este resultado é que numa reunião de 23 ou mais pessoas, é mais surpreendente que não haja duas que coincidam no aniversário do que haja pessoas cujo aniversário não seja coincidente, algo que todos nós tendemos a não acreditar num primeiro momento.

Demonstração matemática

O resultado não é um paradoxo matemático, é algo comprovável (e até facilmente) matematicamente. A designação de paradoxo advém do facto de parecer contradizer a intuição.

Para calcular a probabilidade para qualquer número de pessoas n menor ou igual a 365 (já que se há mais de 365 pessoas a probabilidade é 1) a ideia é calcular a probabilidade de que não haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia. A esta probabilidade chamaremos P. Depois calculamos a probabilidade de que haja algum par de pessoas façam anos no mesmo dia, efectuando a operação 1 - P. Calculemos P (tomaremos o ano com 365 dias):

Tomemos uma das pessoas do grupo. Essa pessoa fará anos num certo dia. Tomemos outra das pessoas. A probabilidade de que o aniversário desta nova pessoa não coincida com o aniversário da primeira é 364/365 (casos favoráveis: todos os dias do ano excepto o do aniversário da primeira pessoa; casos possíveis: todos os dias do ano). Se tomamos uma outra pessoa mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 363/365 (pela mesma razão). Tomando outra mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 362/365, e assim sucessivamente. A probabilidade de que ocorram todos estes acontecimentos (que ninguém coincida) é o produto de todas estas probabilidades. Para n pessoas ficamos com a seguinte expressão:

P = (364/365).(363/365).(362/365)….(365 – n +1)/365

Usando factoriais podemos escrever esta expressão assim:

P = 365!/[365^n.(365 - n)!]

Se esta é a probabilidade de que não haja duas pessoas que coincidam no aniversário, a probabilidade de que haja pelo menos um par de pessoas que coincida será 1 - P. Ou seja, a probabilidade de que numa reunião de n pessoas haja duas que façam anos no mesmo dia e mesmo mês é:

P =1 - 365!/[365^n.(365 - n)!]

Com n = 22 obtemos uma probabilidade de 0,475695. Com n = 23 já passamos a 50%, com rigor uma probabilidade de 0,507297. Com n = 25, como no exemplo inicial, estamos já com 0,5687.

Aqui ficam mais alguns resultados:

Para n = 30, a probabilidade é de 0,706316, pouco mais de 70%.
Para n = 35, a probabilidade é de 0,8143383, pouco mais de 81%.
Para n = 40, a probabilidade é de 0,891232, quase de 90%.
Para n = 45, a probabilidade é de 0,940976, cerca de 95%.
Para n = 50, a probabilidade é de 0,970374, mais de 97%.
Para n = 60, a probabilidade é de 0,994123, mais de 99%!!.

A questão é que geralmente cada pessoa tende a imaginar a probabilidade de que, partindo de uma pessoa concreta, haja outra que coincida no aniversário com ela. A probabilidade de isso acontecer é de facto muito baixa em 23 pessoas. A chave do problema é que há uma multiplicidade de pares possíveis que podem formar-se e que vão aumentando conforme aumenta o número de pessoas do grupo. Por isso é que a probabilidade acaba por ser tão alta num grupo tão pequeno.

Probabilidades e Paradoxos

2008-12-16T16:17:00.001Z

Um paradoxo não é uma desgraça, é uma grande oportunidade, pois indica que há algo profundo por detrás todo o assunto que não entendemos bem e que nos pode conduzir a novos mundos.

Miguel de Guzmán

Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.

in epsilones

imagem de Ott

imagem de Mirco Ilic

Dados & a Curva de Gauss

2008-12-16T16:15:00.001Z

Flatland

2008-12-09T22:35:00.005Z

E se vivêssemos num mundo a duas dimensões?
Ora vejam. Vale a pena!

Ver mais em http://flatlandthemovie.com/
A versão completa deve ser bem gira!...

Geometrias

2008-11-29T21:41:00.015Z

Geometrias fractais

Os gregos antigos desenvolveram uma geometria de linhas e círculos, de régua e compasso, onde o rei era o triângulo rectângulo e o teorema de Pitágoras o seu representante. Durante dois milénios, a platónica pureza da geometria grega fez as delicias de agrimensores e poetas.

Um dia, enquanto descansava de não fazer nada na sua estufa, monsieur Descartes fixou a sua atenção na mosca que passeava pelo tecto. Para localizá-la inventou os sistemas de coordenadas, e com eles a geometria tornou-se analítica, tornou-se número, e abriu-se às mais estranhas fórmulas. E os engenheiros foram felizes.

Mas não aqueles matemáticos, que sempre olharam de lado o quinto axioma de Euclides. Por fim os mais ousados renegaram o axioma da paralela única e inventaram as geometrias não euclidianas. Com elas o espaço fez-se curvo e os físicos reinventaram o universo.

Contudo, a geometria nunca pôde modelar a forma das nuvens ou dos fetos, nem a disposição das montanhas, nem a formação das plantas, animais e seres humanos. Até que chegou Mandelbrot, que revelou a rugosidade do real e deu nome a uma nova forma de olhar: chamou-lhe geometria fractal.

Os fractais são formas rugosas que preenchem o vazio tão densamente que alcançam dimensões superiores às da linha ou da superfície: retorcem-se para preencher cada nicho, cada meandro do espaço, fazem-no copiando-se a si próprias em distintas e incessantes escalas. É graças a esta característica, a auto semelhança, que os fractais se adaptam tão bem à representação de certas formas naturais. Mas há mais, porque os fractais não são somente objectos científicos ou técnicos, são também estéticos, que é possível explorar graças a esta janela que é o monitor do computador. Mas isso já é outra história...

Traduzido de Epsilones

Geogebra

2008-11-20T14:19:00.003Z

Dei-me agora conta de que para conseguirem abrir os ficheiros em Geogebra anexados a esta página, têm que instalar o Geogebra no vosso computador.

Isso é simples, já que este programa de Geometria Dinâmica é freeware (grátis às Damas e ... aos Cavalheiros, também) e podem descarregá-lo aqui.

Uma aplicação (interactiva) do Teorema de Pitágoras

2008-11-18T16:06:00.007Z

A que distância vês o horizonte?
Clica aqui!

(Ficheiro obtido a partir de Geometría Dinámica).

"Pit" no espaço!

2008-11-17T16:18:00.010Z

E o Teorema de Pitágoras no espaço?
Alguém quer contribuir?...

Aqui vai uma contribuição. E mais outra.

(Ficheiros obtidos a partir de Geometría Dinámica).

O Teorema de Pitágoras III

2008-11-17T16:11:00.001Z

Demonstração do teorema de Pitágoras generalizado

O surpreendente é que a relação estabelecida pelo Teorema de Pitágoras se pode generalizar a todo terno de figuras semelhantes cujos comprimentos formem um terno pitagórico. Se em vez três aborrecidos quadrados desenharmos sobre um triângulo rectângulo três gatos de Cheshire, a área da superfície ocupada pelo desenho do maior dos três será igual à soma das áreas dos outros dois desenhos.

A demonstração deste facto é praticamente trivial:

Seja a um comprimento qualquer do gato grande (pode ser a sua largura, mas também a distância entre os extremos das orelhas, ou a amplitude do seu sorriso). Sejam b e c os mesmos comprimentos mas medidos nas outras duas imagens, b para o gato médio e c para o pequeno. a, b e c formam um terno pitagórico, ou seja, cumprem:

a^2 = b^2 + c^2 [1]

Sejam A, B e C as áreas das superfícies ocupadas pelo desenho de cada um dos gatos, do maior ao menor. É sabido que se duas figuras são semelhantes, o quociente entre as suas áreas é igual ao quadrado do quociente entre os seus comprimentos.

Portanto: B/A = (b/a)^2 , C/A = (c/a)^2

Simplificando: b^2 = a^2. B/A, c^2 = a^2. C/A

Substituindo em [1], vem: a^2 = a^2. B/A + a^2. C/A

Simplificando: A = B + C.

A partir de Epsilones

Para além do teorema de Pitágoras - II

2008-11-17T16:09:00.001Z

As lúnulas e o triângulo

Seja [ABC] um triângulo rectângulo. Tracemos o semicírculo circunscrito ao triângulo, e os dois semicírculos de diâmetros [AB] e [AC] exteriores ao triângulo. A soma das áreas das lúnulas assim obtidas é igual à área de outra das superfícies que se vêm na figura. De que superfície se trata?
Nota: as medidas concretas do triângulo não importam. Não se trata de fazermos contas e procurarmos alguma coincidência.

Solução:

A soma das áreas das lúnulas coincide com a área do triângulo [ABC].

Uma variante

A terceira linha do desenvolvimento anterior é na realidade una demonstração do teorema de Pitágoras para semicírculos. Dando por sabido o teorema de Pitágoras generalizado, a demonstração fica assim:

Seja L a área das lúnulas:

L = b + c + d - a

Pelo teorema de Pitágoras generalizado,

a = b + c

Então

L = b + c + d - (b + c)

L = d

A partir de Epsilones

Um passo para além do Teorema de Pitágoras

2008-11-16T12:48:00.006Z

Embora o Teorema de Pitágoras esteja por aí há milhares de anos, a variedade de provas e de ideias que dele decorrem continuam a fascinar-nos. Há várias formas de enunciar o teorema.

Por exemplo:
Dado um triângulo rectângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

ou - Dado um triângulo rectângulo, a soma das áreas dos dois quadrados construídos a partir dos catetos desse triângulo é igual à área do quadrado construído a partir da hipotenusa desse triângulo.
(Ver aqui e aqui duas demonstrações interactivas do Teorema de Pitágoras em Geogebra).

Agora, descubramos uma variação desta última forma. Suponhamos que em vez de somarmos as áreas dos quadrados construídos nos catetos e na hipotenusa, somamos as áreas de outras figuras geométricas semelhantes, e verifiquemos se o teorema ainda continua verdadeiro. Resultará sempre para objectos semelhantes?

Área do círculo A = (1/2).(a/2)^2.pi = (a^2.pi)/4
Área do círculo B = (1/2).(b/2)^2.pi = (b^2.pi)/4
Área do círculo C = (1/2).(c/2)^2.pi = (c^2.pi)/4

E, comparando as suas áreas vem:
(a^2+b^2).pi/4 = c^2.pi/4

Traduzido de "More joy of Mathematics" de Theoni Pappas

E para gatos?! :-)
O gato da "Alice no país da maravilhas" de Lewis Carroll (pseudónimo do escritor e matemático Inglês, Charles Lutwidge Dodson).