Mais um vídeo do Math Festival

Moebius Transformations Revealed
Um pequeno filme mostrando a beleza das transformações de Moebius. O filme mostra como ao movermo-nos para uma dimensão superior as transformações ficam mais fáceis de entender.

Desafio 1

Pretendemos, com uma periodicidade quinzenal, colocar aqui um desafio que é, em primeiro lugar, dirigido aos nossos alunos, mas ao qual pode responder qualquer um que se sinta desafiado. As respostas podem ser enviadas através dos comentários.

Ficamos à espera...

A incrível coroa circular

Considera qualquer coroa circular obtida a partir de dois círculos concêntricos, como as ilustradas nas figuras abaixo. Consegues mostrar que a área da coroa circular é igual à área de um círculo cujo diâmetro é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor?

Estrela

Mais uma experiência...
Para mover (se der...) a Stella faça-o com o botão direito do rato.

O programa Cabri 3D não é shareware, mas pode-se fazer o download por um mês de uma evaluation version em http://www.cabri.com/

Applet em Geogebra

Experiência: 1, 2, 3, ...



Ainda falta qualquer coisa. Vou aprender...
-:)MJ

A magia está no olhar...

Os números poligonais são números cujas formas estão relacionadas com as formas de polígonos regulares.

Foram deduzidas propriedades matemáticas estudando as formas que estes números compõem. Por exemplo, estudando as formas dos números quadrados, a soma dos n primeiros termos da sucessão dos números ímpares pode ser determinada.

Imagens produzidas no Smart Board

A propósito do dia dos namorados: "menos" por "menos" dá "mais" ...

Aula de Matemática
Tom Jobim - Marino Pinto

Graffiti matemático

imagens obtidas a partir de http://www.oei.es/oim/

Sierpinski Valentine

em xkcd

Parabéns, Darwin!

Passam hoje 200 anos sobre o nascimento de Darwin.

Darwin 2009 - Paulo Mota

Um vídeo de CvTv - Ciência em Imagens

Calendário de exames - 2009

Saiu no DR o Despacho n.º 3536/2009 .
Neste Despacho encontra-se a legislação aplicável aos Exames Nacionais em 2009 bem como o prazo para a inscrição nos mesmos (de 2 a 11 de Março).
Calendário de exames - 1ª fase
Calendário de exames - 2ª fase

Infinito menos infinito... quanto é?

Traduzido de um artigo de Epsilones (um sítio que vale a pena visitar...)

Pergunta feita por um dos leitores de Epsilones:

De acordo com as definições que obtive, infinito não é um número mensurável. Portanto, dado que não há forma de conhecer as quantidades que estou subtraindo, em minha opinião, infinito menos infinito é INFINITO.

Tenho vários colegas que diferem, sendo a sua opinião de que o resultado é zero ou se encontra perto de zero.
________________________________________________________________

Antes de podermos dizer qual é o resultado de uma operação, há que nos perguntarmos o que significa exactamente. O que significa subtrair dois infinitos? Para tentarmos fazer uma ideia, vamos a aproximar-nos da questão a partir de dois pontos de vista diferentes: um analítico e outro de conjuntos.

Aproximação analítica

Infinito pode ser o resultado de uma passagem ao limite. Podemos ver o que se passa quando subtraímos duas sucessões de limite infinito.

Sejam as sucessões seguintes:

• a_n = n;
• b_n = n²;
• c_n = n + k, onde k é um número real qualquer.
• lim a_n = lim b_n = lim c_n = +∞
  
  Agora, se subtrairmos as sucessões e tomarmos limites, temos:
  
  
• lim (b_n - a_n) = lim (n² - n) =+ ∞
• lim (c_n - a_n) = lim (n + k - n) = lim k = k

Conclusão provisória: ao subtrairmos duas sucessões de limite infinito, a sucessão resultante pode ter por limite qualquer coisa.

Aproximação conjuntista

O Infinito também pode ser o cardinal de um conjunto, ou seja, o número de elementos que esse conjunto tem. A ideia agora é tomarmos um conjunto de cardinal infinito, subtrair-lhe subconjuntos de cardinal também infinito, e ver qual é o cardinal do conjunto resultante. Não é muito diferente do que fazemos quando para explicar a uma criança quanto é três menos dois lhe dizemos: “se tenho três maçãs e como uma, com quantas maçãs fico?”.
Sejam os conjuntos seguintes:

IN = {1, 2, 3, 4 ...}, ou seja, o conjunto dos números naturais .
P = {2, 4, 6, 8 ...}, ou seja, o conjunto dos números pares.
I = {1, 3, 5, 7 ...}, ou seja, o conjunto dos números ímpares.
A1 = IN - {1}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1.
A2 = IN - {1,2}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1 e 2.
An = IN - {1, 2,..., n}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1, 2, 3, ... ,n

Entenderemos por A - B o conjunto resultante de tirar ao conjunto A os elementos do conjunto B. Vejamos alguns casos:

1. IN - IN = Ø
Se ao conjunto dos números naturais lhe tirarmos todos os números naturais, o que nos sobra? Nada, claro. Ao conjunto que não tem elementos em matemática chamamos conjunto vazio.
Portanto, ∞ - ∞ = 0.

2. IN - P = I
Está claro - se aos números naturais lhe tirarmos os pares ficam os ímpares.
Então: ∞ - ∞ = ∞.

3. IN - A1 = {1}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1.
Então: ∞ - ∞ = 1.

4. IN-An = {1, 2, ..., n}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1, 2, 3, ... n.
Então: ∞ - ∞ = n.

Conclusão: se a um conjunto com uma quantidade infinita de elementos lhe tirarmos una quantidade infinita de elementos, o conjunto resultante pode ter... qualquer quantidade de elementos, inclusive nenhum.

Conclusão provisória:
Nenhuma das duas aproximações nos dá uma ideia de como podemos definir a diferença de infinitos para que tenha sentido. Eu não conheço nenhuma, mas isso não quer dizer nada, claro.

Vamos jogar!

"Diz-se que os primeiros quebra-cabeças surgiram quando alguns mapas começaram a ser colados em chapas de madeira em pequenos pedaços, por volta do Século XVIII. Em linhas gerais, um Jogo de Quebra-Cabeça trata de resolver um problema, que normalmente está ligado com a estratégia e um raciocínio matemático. Os quebra-cabeças são normalmente entendidos como um simples passatempo, mas para quem conhece este tipo de jogo, sabe que em alguns deles pode-se ter um certo tratamento matemático, principalmente algébricos e geométricos. Com o objetivo de facilitar o acesso Simon Tatham e sua equipa desenvolveram o Simon Tatham's Portable Puzzle Collection. Trata-se de uma colecção de jogos em Java que podem ser acessados tanto pela Web quanto em seu desktop. Todos eles são compatíveis com Windows, Linux e outras plataformas que suportam a tecnologia Java. A licença é MIT licence.

O site oficial é: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/

Além de possuir os jogos, existem os manuais."

A partir de Blog do Prof. Jean Piton

Canguru Matemático

Podes inscrever-te junto do teu professor de Matemática até ao dia 8 de Março.

"A Associação Canguru sem Fronteiras é uma associação de carácter internacional que junta personalidades do mundo da matemática de diversos países. O seu objectivo é promover a divulgação da matemática elementar por todos os meios ao seu alcance e, em particular, pela organização de um concurso que terá lugar no mesmo dia em todos os países participantes.
(...)
O Concurso "Canguru Matemático" contribui para a popularização e promoção da matemática nos jovens. O concurso pretende atrair o máximo número de alunos sem pretender selecionar os alunos a nível nacional nem comparar os resultados com os diversos países. O Concurso é para TODOS os alunos e não é apenas para os que tiverem melhores notas. Não existe uma selecção prévia.

Objectivos

• Estimular o gosto e o estudo pela Matemática.
• Atrair os alunos que têm "medo" da disciplina de Matemática, permitindo que estes descubram o lado lúdico da disciplina.
• Tentar que os alunos se divirtam a resolver questões matemáticas.
• Conseguir que cada aluno, através da Matemática, se sinta bem consigo mesmo e com os demais colegas.
• Aumentar todos os anos o número de participantes no concurso a nível nacional e tentar atingir as cotas de participação de outros países europeus.

O concurso consiste numa única prova: não existe nenhuma selecção prévia nem existe uma prova final. Existem cinco níveis, de acordo com as idades dos alunos. A prova consiste num questionário de escolha múltipla de cerca de trinta questões de dificuldade crescente."

em http://www.mat.uc.pt/canguru/

Limite de uma função

Limite de uma função segundo Heine

Sendo f uma função real de variável real, diz-se que

lim f(x) = b
x-> a

se e só se a qualquer sucessão (x(n)) de termos pertencentes ao domínio de f que tende para a (finito ou infinito) por valores diferentes de a, corresponde uma sucessão de imagens f(x(n)) que tende para b.