Infinito menos infinito... quanto é?

Traduzido de um artigo de Epsilones (um sítio que vale a pena visitar...)

Pergunta feita por um dos leitores de Epsilones:

De acordo com as definições que obtive, infinito não é um número mensurável. Portanto, dado que não há forma de conhecer as quantidades que estou subtraindo, em minha opinião, infinito menos infinito é INFINITO.

Tenho vários colegas que diferem, sendo a sua opinião de que o resultado é zero ou se encontra perto de zero.
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Antes de podermos dizer qual é o resultado de uma operação, há que nos perguntarmos o que significa exactamente. O que significa subtrair dois infinitos? Para tentarmos fazer uma ideia, vamos a aproximar-nos da questão a partir de dois pontos de vista diferentes: um analítico e outro de conjuntos.

Aproximação analítica

Infinito pode ser o resultado de uma passagem ao limite. Podemos ver o que se passa quando subtraímos duas sucessões de limite infinito.

Sejam as sucessões seguintes:

• a_n = n;
• b_n = n²;
• c_n = n + k, onde k é um número real qualquer.
• lim a_n = lim b_n = lim c_n = +∞
  
  Agora, se subtrairmos as sucessões e tomarmos limites, temos:
  
  
• lim (b_n - a_n) = lim (n² - n) =+ ∞
• lim (c_n - a_n) = lim (n + k - n) = lim k = k

Conclusão provisória: ao subtrairmos duas sucessões de limite infinito, a sucessão resultante pode ter por limite qualquer coisa.

Aproximação conjuntista

O Infinito também pode ser o cardinal de um conjunto, ou seja, o número de elementos que esse conjunto tem. A ideia agora é tomarmos um conjunto de cardinal infinito, subtrair-lhe subconjuntos de cardinal também infinito, e ver qual é o cardinal do conjunto resultante. Não é muito diferente do que fazemos quando para explicar a uma criança quanto é três menos dois lhe dizemos: “se tenho três maçãs e como uma, com quantas maçãs fico?”.
Sejam os conjuntos seguintes:

IN = {1, 2, 3, 4 ...}, ou seja, o conjunto dos números naturais .
P = {2, 4, 6, 8 ...}, ou seja, o conjunto dos números pares.
I = {1, 3, 5, 7 ...}, ou seja, o conjunto dos números ímpares.
A1 = IN - {1}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1.
A2 = IN - {1,2}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1 e 2.
An = IN - {1, 2,..., n}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1, 2, 3, ... ,n

Entenderemos por A - B o conjunto resultante de tirar ao conjunto A os elementos do conjunto B. Vejamos alguns casos:

1. IN - IN = Ø
Se ao conjunto dos números naturais lhe tirarmos todos os números naturais, o que nos sobra? Nada, claro. Ao conjunto que não tem elementos em matemática chamamos conjunto vazio.
Portanto, ∞ - ∞ = 0.

2. IN - P = I
Está claro - se aos números naturais lhe tirarmos os pares ficam os ímpares.
Então: ∞ - ∞ = ∞.

3. IN - A1 = {1}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1.
Então: ∞ - ∞ = 1.

4. IN-An = {1, 2, ..., n}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1, 2, 3, ... n.
Então: ∞ - ∞ = n.

Conclusão: se a um conjunto com uma quantidade infinita de elementos lhe tirarmos una quantidade infinita de elementos, o conjunto resultante pode ter... qualquer quantidade de elementos, inclusive nenhum.

Conclusão provisória:
Nenhuma das duas aproximações nos dá uma ideia de como podemos definir a diferença de infinitos para que tenha sentido. Eu não conheço nenhuma, mas isso não quer dizer nada, claro.