Matmagias: Conjunto infinitos

Haverá mais números inteiros ou números pares?

Parece uma questão simples, não? Afinal, cada número par é um número inteiro. Mas o que se passa com todos os números pares? Há, então, mais números inteiros do que números pares, não? Mas esperemos um minuto. Quantos números pares existem? São em número infinito. E quantos inteiros existem? Infinitos. Hmmmm....

"Infinito," diz o estudante de Matemática A, "é só um termo... não há maneira de me demonstrares que são em igual número.”

"Ok, vamos jogar..." diz o estudante de Matemática B. "Indica-me um inteiro, e eu indicar-te-ei um número par que lhe corresponda. E se dois dos teus números inteiros são diferentes, eu garanto-te que os meus dois números pares também serão diferentes.”

Estudante de Matemática A: Ok... 1

Estudante de Matemática B: 2

A: 2

B: 4

A: 18

B: 36

A: -100

B: -200

A: n

B: 2n

A: Estou a começar a ver o que queres dizer. Mas pensemos em alguma da teoria de conjuntos que aprendemos nas aulas. O conjunto dos números pares está contido no conjunto dos números inteiros, mas não é igual a esse conjunto. Portanto estes dois conjuntos não podem ter o mesmo tamanho.

O paradoxo caracterizado pelo problema anterior confundiu os matemáticos durante séculos. No seu âmago encontra-se um perturbante conceito que tem perseguido os matemáticos: infinito. Em 1874 George Cantor definiu um sistema com graus de infinito que resolveu o problema de uma vez por todas e aumentou grandemente a compreensão dos matemáticos do infinito e da teoria dos conjuntos.

A solução de Cantor: Numerabilidade

No exemplo anterior, o estudante B fez corresponder a cada número inteiro o seu dobro, o que resultou na seguinte correspondência:

...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10...

Os números inteiros podem ser postos em correspondência com os números naturais, da seguinte forma:

1, 2, 3, 4, 5,...
0, -1, 1, -2, 2,...

Cantor, então, apresentou a seguinte definição:

Definição: Dois conjuntos são iguais em magnitude (i.e. tamanho) se os seus elementos podem ser postos em correspondência um a um, uns com os outros:

Isto significa que os números naturais, os números inteiros, e os números pares têm todos o “mesmo número” de elementos. Cantor designou o número dos números naturais pelo número transfinito (lê-se alef-zero). Para simplificação da notação, vamos chamar a este número d [denumerability, em Inglês].

Um conjunto é, então, numerável se e somente se pode ser escrito como uma sequência infinita {a₁, a₂, a₃...}. Neste caso a₁ corresponde ao número natural 1, a₂ a 2, e por aí fora.

Números que representam a magnitude de conjuntos são chamados números cardinais. Para conjuntos finitos, os números cardinais são os números naturais. Um número cardinal X diz-se maior do que um número cardinal Y, se um conjunto de magnitude X tem um subconjunto estrito (um subconjunto que não é igual ao próprio conjunto) de ordem Y, mas um conjunto de ordem Y não tem um subconjunto próprio de ordem X. Uma vez que cada conjunto infinito contém um conjunto do tipo {a1, a2, a3...}, d é o menor número transfinito.

Teorema: o conjunto dos números racionais é numerável, ou seja, tem um número cardinal d.

Inicialmente, seriamos levados a pensar que há “mais” números racionais do que números naturais, uma vez que há um número infinito de outros números racionais entre dois quaisquer números racionais diferentes. Isto não é verdade. Cantor provou o teorema acima da seguinte forma:

Uma vez que d é o menor número transfinito, só precisamos de provar que um conjunto que contém os números racionais é numerável. Ou seja, o conjunto dos números racionais é um conjunto infinito, e assim tem magnitude d, e não pode ter magnitude superior à de um conjunto que nele esteja contido. Consideremos o conjunto: