Números complexos

Para acabar em beleza!...

Bibliografia:
BetterExplained

Ainda a propósito dos números complexos

Os números complexos aparecem pela primeira vez no século XVI, a propósito das equações algébricas do 3º e 4º graus, cujas fórmulas resolventes foram descobertas por matemáticos italianos (Scipione del Ferro e Tartaglia).

Tem em conta também que é possível fazer certas concessões ao
engenho, como é frequente nos livros de história.

Cardano. De propria vita. 1576

Há uma estória muito conhecida relativamente a esta descoberta.
Scipione del Ferro descobriu a fórmula resolvente para as equações cúbicas e não a divulgou (hábito da época: ficaria para ser utilizada nos desafios que, matemáticos e outros pensadores, se faziam mutuamente).
Scipione del Ferro morre e deixa a fórmula em testamento ao seu genro Annibale della Nave e ao seu aluno Antonio Maria Del Fiore.

Del Fiore desafia Tartaglia, um matemático considerado, a resolver uma série de problemas, cuja resolução dependia do conhecimento da fórmula resolvente.
Tartaglia depois de estar dias e noites à volta destes problemas acabou por chegar, também ele, à fórmula resolvente das equações algébricas do 3º grau.
No dia aprazado para a resolução em praça pública dos problemas, Tartaglia resolve-os sem errar um sequer. O mesmo não aconteceu com os problemas que Del Fiore tinha, em contrapartida, que resolver.

Cardano, um matemático também muito considerado na época, teve conhecimento deste feito e pediu insistentemente a Tartaglia que lhe revelasse a fórmula.
Tartaglia, após tanta insistência de Cardano, acabou por lhe revelar a fórmula, o que fez em verso (rimas que escreveu para facilitar a sua memorização).
Cardano jurou de forma solene a Tartaglia não dar conhecimento da fórmula a ninguém. Mas, segundo parece, terá falado deste assunto com o seu aluno: Ludovico Ferrari.
Os dois, Cardano e Ferrari, pensando que a fórmula estaria no meio dos papéis de Del Ferro, foram lá vasculhar e encontraram-na.
Cardano publica, então, a fórmula no seu livro Ars Magna.

Ferrari encarrega-se de desacreditar Tartaglia.
Não valeu de nada a Tartaglia revoltar-se.
Que ingénuo fui, pensou Tartaglia. Mas agora já nada tinha remédio.

Bibliografia:
Francisco Martín Casalderrey
Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento Italiano.
Capítulo 4
Nivola, 2000

Banda desenhada: Lolita Brain

Números II

Bibliografia: Compêndio de Matemática
José Sebastião e Silva

Números I

Castiço, não?!
Uma private joke Matemática.

Piiiiii de novo _ II

"Arquimedes (*) usou o método [da exaustão: precursor dos métodos do cálculo diferencial (limites, derivadas, essas coisas...)] para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for grande o número de lados do polígono."

"(*) Arquimedes foi um matemático, físico e inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistas e matemáticos da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos."

Em Wikipédia

Piiiiii de novo _ I

Ideia da imagem obtida a partir de http://betterexplained.com/

Potências de dez

Das partículas elementares aos confins do Universo.

O Universo mecânico - Derivadas

Vale a pena!

Este é, segundo me parece, um filme de origem Argentina (de martimarti). Apesar de ser falado em Espanhol entende-se muito bem.

el universo mecánico-3-derivadas.a
Enviado por martimarti

Função derivada de uma função cúbica

Centra o applet com auxílio dos cursores lateral e inferior.
Arrasta o ponto P.
Activa a(s) caixa(s) para exibir/esconder objectos.

Repara na nova correspondência que foi estabelecida entre a abcissa do ponto P e o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto P.
A esta nova correspondência dá-se o nome de função derivada de f, e representa-se por f'.

Derivada, a linguagem do movimento II: Os "achadores"

Bibliografia

Imagens: Várias páginas na Internet (motor de busca: Google).

“e: História de um número” de Eli Maor – Edições Gradiva.

Derivada: a linguagem do movimento I

Bibliografia:
"Matematicas en tu mundo"
Infinito 11

Hoje é dia do Pi

Em http://pi.ytmnd.com/ pode-se ouvir uma canção sobre o número π cujo autor é Kraln.
A letra, embora seja irracional, resulta transcendente.

adaptado de Epsilones

Aproxima-se o dia do Pi (14/3)

Pi_1

Em xkcd

Área do círculo

Desafio 1

Pretendemos, com uma periodicidade quinzenal, colocar aqui um desafio que é, em primeiro lugar, dirigido aos nossos alunos, mas ao qual pode responder qualquer um que se sinta desafiado. As respostas podem ser enviadas através dos comentários.

Ficamos à espera...

A incrível coroa circular

Considera qualquer coroa circular obtida a partir de dois círculos concêntricos, como as ilustradas nas figuras abaixo. Consegues mostrar que a área da coroa circular é igual à área de um círculo cujo diâmetro é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor?

Limite de uma função

Limite de uma função segundo Heine

Sendo f uma função real de variável real, diz-se que

lim f(x) = b
x-> a

se e só se a qualquer sucessão (x(n)) de termos pertencentes ao domínio de f que tende para a (finito ou infinito) por valores diferentes de a, corresponde uma sucessão de imagens f(x(n)) que tende para b.

Conjunto infinitos

Haverá mais números inteiros ou números pares?

Parece uma questão simples, não? Afinal, cada número par é um número inteiro. Mas o que se passa com todos os números pares? Há, então, mais números inteiros do que números pares, não? Mas esperemos um minuto. Quantos números pares existem? São em número infinito. E quantos inteiros existem? Infinitos. Hmmmm....

"Infinito," diz o estudante de Matemática A, "é só um termo... não há maneira de me demonstrares que são em igual número.”

"Ok, vamos jogar..." diz o estudante de Matemática B. "Indica-me um inteiro, e eu indicar-te-ei um número par que lhe corresponda. E se dois dos teus números inteiros são diferentes, eu garanto-te que os meus dois números pares também serão diferentes.”

Estudante de Matemática A: Ok... 1

Estudante de Matemática B: 2

A: 2

B: 4

A: 18

B: 36

A: -100

B: -200

A: n

B: 2n

A: Estou a começar a ver o que queres dizer. Mas pensemos em alguma da teoria de conjuntos que aprendemos nas aulas. O conjunto dos números pares está contido no conjunto dos números inteiros, mas não é igual a esse conjunto. Portanto estes dois conjuntos não podem ter o mesmo tamanho.

O paradoxo caracterizado pelo problema anterior confundiu os matemáticos durante séculos. No seu âmago encontra-se um perturbante conceito que tem perseguido os matemáticos: infinito. Em 1874 George Cantor definiu um sistema com graus de infinito que resolveu o problema de uma vez por todas e aumentou grandemente a compreensão dos matemáticos do infinito e da teoria dos conjuntos.

A solução de Cantor: Numerabilidade

No exemplo anterior, o estudante B fez corresponder a cada número inteiro o seu dobro, o que resultou na seguinte correspondência:

...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10...

Os números inteiros podem ser postos em correspondência com os números naturais, da seguinte forma:

1, 2, 3, 4, 5,...
0, -1, 1, -2, 2,...

Cantor, então, apresentou a seguinte definição:

Definição: Dois conjuntos são iguais em magnitude (i.e. tamanho) se os seus elementos podem ser postos em correspondência um a um, uns com os outros:

Isto significa que os números naturais, os números inteiros, e os números pares têm todos o “mesmo número” de elementos. Cantor designou o número dos números naturais pelo número transfinito (lê-se alef-zero). Para simplificação da notação, vamos chamar a este número d [denumerability, em Inglês].

Um conjunto é, então, numerável se e somente se pode ser escrito como uma sequência infinita {a₁, a₂, a₃...}. Neste caso a₁ corresponde ao número natural 1, a₂ a 2, e por aí fora.

Números que representam a magnitude de conjuntos são chamados números cardinais. Para conjuntos finitos, os números cardinais são os números naturais. Um número cardinal X diz-se maior do que um número cardinal Y, se um conjunto de magnitude X tem um subconjunto estrito (um subconjunto que não é igual ao próprio conjunto) de ordem Y, mas um conjunto de ordem Y não tem um subconjunto próprio de ordem X. Uma vez que cada conjunto infinito contém um conjunto do tipo {a1, a2, a3...}, d é o menor número transfinito.

Teorema: o conjunto dos números racionais é numerável, ou seja, tem um número cardinal d.

Inicialmente, seriamos levados a pensar que há “mais” números racionais do que números naturais, uma vez que há um número infinito de outros números racionais entre dois quaisquer números racionais diferentes. Isto não é verdade. Cantor provou o teorema acima da seguinte forma:

Uma vez que d é o menor número transfinito, só precisamos de provar que um conjunto que contém os números racionais é numerável. Ou seja, o conjunto dos números racionais é um conjunto infinito, e assim tem magnitude d, e não pode ter magnitude superior à de um conjunto que nele esteja contido. Consideremos o conjunto:

Este conjunto contém os racionais (muitos deles mais do que uma vez). Agora, ordenemos este conjunto desta maneira:

Obtemos, então, um conjunto numerável: {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3...}

Agora comecemos com 0 e incluamos o simétrico de cada número, obtemos o conjunto:

{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3...}

Assim, um conjunto que inclui os números racionais foi colocado numa correspondência um a um sistemática com os números naturais:

Traduzido de http://mathforum.org/isaac/problems/cantor1.html

Falando com o infinito

"Eu sou o INFINITO", declarou a voz profunda. "Ninguém me pode apanhar. Eu nunca acabo."

"Mas o que és tu?" perguntou Francisco, muito assustado e inquieto.

"Eu sou algo muito difícil para vocês meros Seres Terrestres perceberem", replicou o Infinito.

"Bem, tenta", disse Francisco num tom de voz mais seguro.

"Isto vai ser engraçado", continuou a voz. "Eu sempre existi, mas nem sempre fui conhecido pelos Seres Terrestres. Sou uma ideia que pode ser usada em muitas coisas - objectos, números, pontos. Sou uma quantidade que não pode ser agarrada. Pode-se dizer que estou sempre a mudar e a crescer. Eu não tenho fim."

Esta explicação pareceu confundir Francisco ainda mais. Finalmente, ele ficou impaciente e pediu, "por favor dá-me exemplos concretos."

"É exemplos que tu queres!" escarneceu o Infinito. "Eu sou o número de pontos deste segmento de recta

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e o comprimento de qualquer linha recta. Eu sou o número dos números naturais, o número dos números inteiros, o número das fracções. Eu sou o número de números compreendidos entre 0 e 1/2."

"Espera um minuto", interrompeu Francisco. "Dos teus outros exemplos vejo que tu és um objecto gigantesco, mas não podem haver assim tantos números entre 0 e 1/2."

"Oh tolo Ser Terrestre, esqueceste-te de 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, etc., etc., etc? " Respondeu presumidamente o Infinito.

"Ah! Percebo", respondeu Francisco com animação nos olhos.

"Tudo o que não tenha limites é infinito".

"Não!" disse Infinito, um bocado irritado. "0 e 1/2 são limites para os números entre eles. Os extremos de um segmento de recta também são limites para os pontos do segmento."

"Portanto uma coisa é infinita se nunca voa para fora da matéria que a constitui", disse sem nexo Francisco. "E pode-se recobrir um grande espaço ou um pequeno espaço, como um segmento de recta, desde que haja sempre um outro, após o que foi mencionado anteriormente. Eu sei que isto soa a ambíguo, mas é isso o que tu és. Não é verdade?"

"Eu sou oINFINITO - nem mais, nem menos. INFINITO, INFINITO, INFINITO..." respondeu a voz profunda, com as palavras ecoando e esmorecendo ao longe. Francisco desenhou um segmento de recta num bocado de papel. Dobrou o papel e, com um sorriso de satisfação, meteu-o no bolso. Ele sabia que tinha agarrado uma infinidade e que cabia no seu bolso.

Theoni Pappas

O Infinito na Literatura

"As Perturbações do Pupilo Törless"
Robert Musil


"Törless pôs-se a reflectir sobre isto; tentou ficar o mais possível calmo e pensar sensatamente. «É um facto que não há fim», dizia para consigo, tudo continua,continua sempre, até ao infinito». Mantinha os olhos presos ao céu e dizia isto como que para testar a força de uma fórmula mágica. Mas em vão; as palavras não diziam nada, ou antes, diziam qualquer coisa de muito diferente, como se falassem do mesmo objecto, mas de uma perspectiva estranha e indiferente.
«O infinito!» Törless conhecia o termo das aulas de Matemática. Nunca tinha imaginado nada de especial nessa palavra. Estava sempre a aparecer; alguém a teria inventado num dia, e desde então era possível fazer cálculos com ela, tal como com outras realidades sólidas. Era exactamente aquilo que via no cálculo, e Törless nunca buscara nela nada para além disso.
E agora estremecia, como se sentisse um choque, ao pensar que aquela palavra tinha qualquer coisa de terrivelmente inquietante. Via-a como um conceito domado, com o qual fazia diariamente pequenas habilidades, e que agora, subitamente, se libertara. Qualquer coisa que ia para além do entendimento, algo de indomável e destruidor, parecia ter ficado adormecido no trabalho de um qualquer inventor, e agora despertava de repente e era de novo aterrador. Estava ali, vivo, naquele céu sobre a sua cabeça, ameaçador e sarcástico.
Acabou por fechar os olhos, porque aquele espectáculo o torturava."

Uma imagem vale mais do que mil palavras?!...

Há palavras que evocam mil imagens!
So sometimes we use words and ... others we use images.
If I could I would use both.

Aqui têm uma construção em Geogebra que permite visualizar gráficos de funções exponenciais e das respectivas inversas, funções logarítmicas.