SECÇÃO num cubo

Para alterar a secção arrasta um dos dos dois pontos mais "gordos", vértices da secção. Podes também alterar o ponto de vista da secção movendo o cubo com o botão direito do rato.

O programa Cabri 3D não é shareware, mas pode-se fazer o download por um mês de uma evaluation version em http://www.cabri.com/
Podes fazer o download do Manual do Cabri 3D (Português) em: http://www.box.net/shared/q5gp564ilh

Recomeçamos...

O Dodecaedro

Construção encontrada em Cabri 3D

Piero della Francesca
por Javier Krahe

Madonna del parto 1467
Fresco, 260 x 203 cm
Museo de la Madonna del Parto, Monterchi (Arezzo)

Piiiiii de novo _ I

Ideia da imagem obtida a partir de http://betterexplained.com/

Pi_2

Aproxima-se o dia do Pi (14/3)

Pi_1

Em xkcd

Área do círculo

Desafio 1

Pretendemos, com uma periodicidade quinzenal, colocar aqui um desafio que é, em primeiro lugar, dirigido aos nossos alunos, mas ao qual pode responder qualquer um que se sinta desafiado. As respostas podem ser enviadas através dos comentários.

Ficamos à espera...

A incrível coroa circular

Considera qualquer coroa circular obtida a partir de dois círculos concêntricos, como as ilustradas nas figuras abaixo. Consegues mostrar que a área da coroa circular é igual à área de um círculo cujo diâmetro é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor?

Estrela

Mais uma experiência...
Para mover (se der...) a Stella faça-o com o botão direito do rato.

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Flatland

E se vivêssemos num mundo a duas dimensões?
Ora vejam. Vale a pena!



Ver mais em http://flatlandthemovie.com/
A versão completa deve ser bem gira!...

Geometrias

Geometrias fractais

Os gregos antigos desenvolveram uma geometria de linhas e círculos, de régua e compasso, onde o rei era o triângulo rectângulo e o teorema de Pitágoras o seu representante. Durante dois milénios, a platónica pureza da geometria grega fez as delicias de agrimensores e poetas.

Um dia, enquanto descansava de não fazer nada na sua estufa, monsieur Descartes fixou a sua atenção na mosca que passeava pelo tecto. Para localizá-la inventou os sistemas de coordenadas, e com eles a geometria tornou-se analítica, tornou-se número, e abriu-se às mais estranhas fórmulas. E os engenheiros foram felizes.

Mas não aqueles matemáticos, que sempre olharam de lado o quinto axioma de Euclides. Por fim os mais ousados renegaram o axioma da paralela única e inventaram as geometrias não euclidianas. Com elas o espaço fez-se curvo e os físicos reinventaram o universo.

Contudo, a geometria nunca pôde modelar a forma das nuvens ou dos fetos, nem a disposição das montanhas, nem a formação das plantas, animais e seres humanos. Até que chegou Mandelbrot, que revelou a rugosidade do real e deu nome a uma nova forma de olhar: chamou-lhe geometria fractal.

Os fractais são formas rugosas que preenchem o vazio tão densamente que alcançam dimensões superiores às da linha ou da superfície: retorcem-se para preencher cada nicho, cada meandro do espaço, fazem-no copiando-se a si próprias em distintas e incessantes escalas. É graças a esta característica, a auto semelhança, que os fractais se adaptam tão bem à representação de certas formas naturais. Mas há mais, porque os fractais não são somente objectos científicos ou técnicos, são também estéticos, que é possível explorar graças a esta janela que é o monitor do computador. Mas isso já é outra história...

Traduzido de Epsilones

Uma aplicação (interactiva) do Teorema de Pitágoras

A que distância vês o horizonte?
Clica aqui!

(Ficheiro obtido a partir de Geometría Dinámica).

"Pit" no espaço!

E o Teorema de Pitágoras no espaço?
Alguém quer contribuir?...

Aqui vai uma contribuição. E mais outra.

(Ficheiros obtidos a partir de Geometría Dinámica).

O Teorema de Pitágoras III

Demonstração do teorema de Pitágoras generalizado

O surpreendente é que a relação estabelecida pelo Teorema de Pitágoras se pode generalizar a todo terno de figuras semelhantes cujos comprimentos formem um terno pitagórico. Se em vez três aborrecidos quadrados desenharmos sobre um triângulo rectângulo três gatos de Cheshire, a área da superfície ocupada pelo desenho do maior dos três será igual à soma das áreas dos outros dois desenhos.

A demonstração deste facto é praticamente trivial:

Seja a um comprimento qualquer do gato grande (pode ser a sua largura, mas também a distância entre os extremos das orelhas, ou a amplitude do seu sorriso). Sejam b e c os mesmos comprimentos mas medidos nas outras duas imagens, b para o gato médio e c para o pequeno. a, b e c formam um terno pitagórico, ou seja, cumprem:

a^2 = b^2 + c^2 [1]

Sejam A, B e C as áreas das superfícies ocupadas pelo desenho de cada um dos gatos, do maior ao menor. É sabido que se duas figuras são semelhantes, o quociente entre as suas áreas é igual ao quadrado do quociente entre os seus comprimentos.

Portanto: B/A = (b/a)^2 , C/A = (c/a)^2

Simplificando: b^2 = a^2. B/A, c^2 = a^2. C/A

Substituindo em [1], vem: a^2 = a^2. B/A + a^2. C/A

Simplificando: A = B + C.

A partir de Epsilones

Para além do teorema de Pitágoras - II

As lúnulas e o triângulo

Seja [ABC] um triângulo rectângulo. Tracemos o semicírculo circunscrito ao triângulo, e os dois semicírculos de diâmetros [AB] e [AC] exteriores ao triângulo. A soma das áreas das lúnulas assim obtidas é igual à área de outra das superfícies que se vêm na figura. De que superfície se trata?
Nota: as medidas concretas do triângulo não importam. Não se trata de fazermos contas e procurarmos alguma coincidência.


Solução:

A soma das áreas das lúnulas coincide com a área do triângulo [ABC].

Uma variante

A terceira linha do desenvolvimento anterior é na realidade una demonstração do teorema de Pitágoras para semicírculos. Dando por sabido o teorema de Pitágoras generalizado, a demonstração fica assim:

Seja L a área das lúnulas:

L = b + c + d - a

Pelo teorema de Pitágoras generalizado,

a = b + c

Então

L = b + c + d - (b + c)

L = d

A partir de Epsilones

Um passo para além do Teorema de Pitágoras

Embora o Teorema de Pitágoras esteja por aí há milhares de anos, a variedade de provas e de ideias que dele decorrem continuam a fascinar-nos. Há várias formas de enunciar o teorema.

Por exemplo:
Dado um triângulo rectângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

ou - Dado um triângulo rectângulo, a soma das áreas dos dois quadrados construídos a partir dos catetos desse triângulo é igual à área do quadrado construído a partir da hipotenusa desse triângulo.
(Ver aqui e aqui duas demonstrações interactivas do Teorema de Pitágoras em Geogebra).

Agora, descubramos uma variação desta última forma. Suponhamos que em vez de somarmos as áreas dos quadrados construídos nos catetos e na hipotenusa, somamos as áreas de outras figuras geométricas semelhantes, e verifiquemos se o teorema ainda continua verdadeiro. Resultará sempre para objectos semelhantes?


Área do círculo A = (1/2).(a/2)^2.pi = (a^2.pi)/4
Área do círculo B = (1/2).(b/2)^2.pi = (b^2.pi)/4
Área do círculo C = (1/2).(c/2)^2.pi = (c^2.pi)/4

E, comparando as suas áreas vem:
(a^2+b^2).pi/4 = c^2.pi/4

Traduzido de "More joy of Mathematics" de Theoni Pappas

E para gatos?! :-)
O gato da "Alice no país da maravilhas" de Lewis Carroll (pseudónimo do escritor e matemático Inglês, Charles Lutwidge Dodson).