Graffiti matemático

imagens obtidas a partir de http://www.oei.es/oim/

Sierpinski Valentine

em xkcd

Parabéns, Darwin!

Passam hoje 200 anos sobre o nascimento de Darwin.

Darwin 2009 - Paulo Mota

Um vídeo de CvTv - Ciência em Imagens

Calendário de exames - 2009

Saiu no DR o Despacho n.º 3536/2009 .
Neste Despacho encontra-se a legislação aplicável aos Exames Nacionais em 2009 bem como o prazo para a inscrição nos mesmos (de 2 a 11 de Março).
Calendário de exames - 1ª fase
Calendário de exames - 2ª fase

Infinito menos infinito... quanto é?

Traduzido de um artigo de Epsilones (um sítio que vale a pena visitar...)

Pergunta feita por um dos leitores de Epsilones:

De acordo com as definições que obtive, infinito não é um número mensurável. Portanto, dado que não há forma de conhecer as quantidades que estou subtraindo, em minha opinião, infinito menos infinito é INFINITO.

Tenho vários colegas que diferem, sendo a sua opinião de que o resultado é zero ou se encontra perto de zero.
________________________________________________________________

Antes de podermos dizer qual é o resultado de uma operação, há que nos perguntarmos o que significa exactamente. O que significa subtrair dois infinitos? Para tentarmos fazer uma ideia, vamos a aproximar-nos da questão a partir de dois pontos de vista diferentes: um analítico e outro de conjuntos.

Aproximação analítica

Infinito pode ser o resultado de uma passagem ao limite. Podemos ver o que se passa quando subtraímos duas sucessões de limite infinito.

Sejam as sucessões seguintes:

• a_n = n;
• b_n = n²;
• c_n = n + k, onde k é um número real qualquer.
• lim a_n = lim b_n = lim c_n = +∞
  
  Agora, se subtrairmos as sucessões e tomarmos limites, temos:
  
  
• lim (b_n - a_n) = lim (n² - n) =+ ∞
• lim (c_n - a_n) = lim (n + k - n) = lim k = k

Conclusão provisória: ao subtrairmos duas sucessões de limite infinito, a sucessão resultante pode ter por limite qualquer coisa.

Aproximação conjuntista

O Infinito também pode ser o cardinal de um conjunto, ou seja, o número de elementos que esse conjunto tem. A ideia agora é tomarmos um conjunto de cardinal infinito, subtrair-lhe subconjuntos de cardinal também infinito, e ver qual é o cardinal do conjunto resultante. Não é muito diferente do que fazemos quando para explicar a uma criança quanto é três menos dois lhe dizemos: “se tenho três maçãs e como uma, com quantas maçãs fico?”.
Sejam os conjuntos seguintes:

IN = {1, 2, 3, 4 ...}, ou seja, o conjunto dos números naturais .
P = {2, 4, 6, 8 ...}, ou seja, o conjunto dos números pares.
I = {1, 3, 5, 7 ...}, ou seja, o conjunto dos números ímpares.
A1 = IN - {1}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1.
A2 = IN - {1,2}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1 e 2.
An = IN - {1, 2,..., n}, ou seja, o conjunto dos naturais excepto 1, 2, 3, ... ,n

Entenderemos por A - B o conjunto resultante de tirar ao conjunto A os elementos do conjunto B. Vejamos alguns casos:

1. IN - IN = Ø
Se ao conjunto dos números naturais lhe tirarmos todos os números naturais, o que nos sobra? Nada, claro. Ao conjunto que não tem elementos em matemática chamamos conjunto vazio.
Portanto, ∞ - ∞ = 0.

2. IN - P = I
Está claro - se aos números naturais lhe tirarmos os pares ficam os ímpares.
Então: ∞ - ∞ = ∞.

3. IN - A1 = {1}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1.
Então: ∞ - ∞ = 1.

4. IN-An = {1, 2, ..., n}
Ao conjunto dos números naturais tiramos-lhe todos os naturais excepto 1, 2, 3, ... n.
Então: ∞ - ∞ = n.

Conclusão: se a um conjunto com uma quantidade infinita de elementos lhe tirarmos una quantidade infinita de elementos, o conjunto resultante pode ter... qualquer quantidade de elementos, inclusive nenhum.

Conclusão provisória:
Nenhuma das duas aproximações nos dá uma ideia de como podemos definir a diferença de infinitos para que tenha sentido. Eu não conheço nenhuma, mas isso não quer dizer nada, claro.

Vamos jogar!

"Diz-se que os primeiros quebra-cabeças surgiram quando alguns mapas começaram a ser colados em chapas de madeira em pequenos pedaços, por volta do Século XVIII. Em linhas gerais, um Jogo de Quebra-Cabeça trata de resolver um problema, que normalmente está ligado com a estratégia e um raciocínio matemático. Os quebra-cabeças são normalmente entendidos como um simples passatempo, mas para quem conhece este tipo de jogo, sabe que em alguns deles pode-se ter um certo tratamento matemático, principalmente algébricos e geométricos. Com o objetivo de facilitar o acesso Simon Tatham e sua equipa desenvolveram o Simon Tatham's Portable Puzzle Collection. Trata-se de uma colecção de jogos em Java que podem ser acessados tanto pela Web quanto em seu desktop. Todos eles são compatíveis com Windows, Linux e outras plataformas que suportam a tecnologia Java. A licença é MIT licence.

O site oficial é: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/

Além de possuir os jogos, existem os manuais."

A partir de Blog do Prof. Jean Piton

Canguru Matemático

Podes inscrever-te junto do teu professor de Matemática até ao dia 8 de Março.

"A Associação Canguru sem Fronteiras é uma associação de carácter internacional que junta personalidades do mundo da matemática de diversos países. O seu objectivo é promover a divulgação da matemática elementar por todos os meios ao seu alcance e, em particular, pela organização de um concurso que terá lugar no mesmo dia em todos os países participantes.
(...)
O Concurso "Canguru Matemático" contribui para a popularização e promoção da matemática nos jovens. O concurso pretende atrair o máximo número de alunos sem pretender selecionar os alunos a nível nacional nem comparar os resultados com os diversos países. O Concurso é para TODOS os alunos e não é apenas para os que tiverem melhores notas. Não existe uma selecção prévia.

Objectivos

• Estimular o gosto e o estudo pela Matemática.
• Atrair os alunos que têm "medo" da disciplina de Matemática, permitindo que estes descubram o lado lúdico da disciplina.
• Tentar que os alunos se divirtam a resolver questões matemáticas.
• Conseguir que cada aluno, através da Matemática, se sinta bem consigo mesmo e com os demais colegas.
• Aumentar todos os anos o número de participantes no concurso a nível nacional e tentar atingir as cotas de participação de outros países europeus.

O concurso consiste numa única prova: não existe nenhuma selecção prévia nem existe uma prova final. Existem cinco níveis, de acordo com as idades dos alunos. A prova consiste num questionário de escolha múltipla de cerca de trinta questões de dificuldade crescente."

em http://www.mat.uc.pt/canguru/

Limite de uma função

Limite de uma função segundo Heine

Sendo f uma função real de variável real, diz-se que

lim f(x) = b
x-> a

se e só se a qualquer sucessão (x(n)) de termos pertencentes ao domínio de f que tende para a (finito ou infinito) por valores diferentes de a, corresponde uma sucessão de imagens f(x(n)) que tende para b.

A árvore matemática das fórmulas

Nesta curiosa árvore matemática cada ramo divide-se em diversos tipos de fórmulas relacionadas entre si e os diversos campos que abarca a mais exacta das ciências.

em Microsiervos

Conjunto infinitos

Haverá mais números inteiros ou números pares?

Parece uma questão simples, não? Afinal, cada número par é um número inteiro. Mas o que se passa com todos os números pares? Há, então, mais números inteiros do que números pares, não? Mas esperemos um minuto. Quantos números pares existem? São em número infinito. E quantos inteiros existem? Infinitos. Hmmmm....

"Infinito," diz o estudante de Matemática A, "é só um termo... não há maneira de me demonstrares que são em igual número.”

"Ok, vamos jogar..." diz o estudante de Matemática B. "Indica-me um inteiro, e eu indicar-te-ei um número par que lhe corresponda. E se dois dos teus números inteiros são diferentes, eu garanto-te que os meus dois números pares também serão diferentes.”

Estudante de Matemática A: Ok... 1

Estudante de Matemática B: 2

A: 2

B: 4

A: 18

B: 36

A: -100

B: -200

A: n

B: 2n

A: Estou a começar a ver o que queres dizer. Mas pensemos em alguma da teoria de conjuntos que aprendemos nas aulas. O conjunto dos números pares está contido no conjunto dos números inteiros, mas não é igual a esse conjunto. Portanto estes dois conjuntos não podem ter o mesmo tamanho.

O paradoxo caracterizado pelo problema anterior confundiu os matemáticos durante séculos. No seu âmago encontra-se um perturbante conceito que tem perseguido os matemáticos: infinito. Em 1874 George Cantor definiu um sistema com graus de infinito que resolveu o problema de uma vez por todas e aumentou grandemente a compreensão dos matemáticos do infinito e da teoria dos conjuntos.

A solução de Cantor: Numerabilidade

No exemplo anterior, o estudante B fez corresponder a cada número inteiro o seu dobro, o que resultou na seguinte correspondência:

...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10...

Os números inteiros podem ser postos em correspondência com os números naturais, da seguinte forma:

1, 2, 3, 4, 5,...
0, -1, 1, -2, 2,...

Cantor, então, apresentou a seguinte definição:

Definição: Dois conjuntos são iguais em magnitude (i.e. tamanho) se os seus elementos podem ser postos em correspondência um a um, uns com os outros:

Isto significa que os números naturais, os números inteiros, e os números pares têm todos o “mesmo número” de elementos. Cantor designou o número dos números naturais pelo número transfinito (lê-se alef-zero). Para simplificação da notação, vamos chamar a este número d [denumerability, em Inglês].

Um conjunto é, então, numerável se e somente se pode ser escrito como uma sequência infinita {a₁, a₂, a₃...}. Neste caso a₁ corresponde ao número natural 1, a₂ a 2, e por aí fora.

Números que representam a magnitude de conjuntos são chamados números cardinais. Para conjuntos finitos, os números cardinais são os números naturais. Um número cardinal X diz-se maior do que um número cardinal Y, se um conjunto de magnitude X tem um subconjunto estrito (um subconjunto que não é igual ao próprio conjunto) de ordem Y, mas um conjunto de ordem Y não tem um subconjunto próprio de ordem X. Uma vez que cada conjunto infinito contém um conjunto do tipo {a1, a2, a3...}, d é o menor número transfinito.

Teorema: o conjunto dos números racionais é numerável, ou seja, tem um número cardinal d.

Inicialmente, seriamos levados a pensar que há “mais” números racionais do que números naturais, uma vez que há um número infinito de outros números racionais entre dois quaisquer números racionais diferentes. Isto não é verdade. Cantor provou o teorema acima da seguinte forma:

Uma vez que d é o menor número transfinito, só precisamos de provar que um conjunto que contém os números racionais é numerável. Ou seja, o conjunto dos números racionais é um conjunto infinito, e assim tem magnitude d, e não pode ter magnitude superior à de um conjunto que nele esteja contido. Consideremos o conjunto:

Este conjunto contém os racionais (muitos deles mais do que uma vez). Agora, ordenemos este conjunto desta maneira:

Obtemos, então, um conjunto numerável: {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3...}

Agora comecemos com 0 e incluamos o simétrico de cada número, obtemos o conjunto:

{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3...}

Assim, um conjunto que inclui os números racionais foi colocado numa correspondência um a um sistemática com os números naturais:

Traduzido de http://mathforum.org/isaac/problems/cantor1.html

Falando com o infinito

"Eu sou o INFINITO", declarou a voz profunda. "Ninguém me pode apanhar. Eu nunca acabo."

"Mas o que és tu?" perguntou Francisco, muito assustado e inquieto.

"Eu sou algo muito difícil para vocês meros Seres Terrestres perceberem", replicou o Infinito.

"Bem, tenta", disse Francisco num tom de voz mais seguro.

"Isto vai ser engraçado", continuou a voz. "Eu sempre existi, mas nem sempre fui conhecido pelos Seres Terrestres. Sou uma ideia que pode ser usada em muitas coisas - objectos, números, pontos. Sou uma quantidade que não pode ser agarrada. Pode-se dizer que estou sempre a mudar e a crescer. Eu não tenho fim."

Esta explicação pareceu confundir Francisco ainda mais. Finalmente, ele ficou impaciente e pediu, "por favor dá-me exemplos concretos."

"É exemplos que tu queres!" escarneceu o Infinito. "Eu sou o número de pontos deste segmento de recta

---

e o comprimento de qualquer linha recta. Eu sou o número dos números naturais, o número dos números inteiros, o número das fracções. Eu sou o número de números compreendidos entre 0 e 1/2."

"Espera um minuto", interrompeu Francisco. "Dos teus outros exemplos vejo que tu és um objecto gigantesco, mas não podem haver assim tantos números entre 0 e 1/2."

"Oh tolo Ser Terrestre, esqueceste-te de 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, etc., etc., etc? " Respondeu presumidamente o Infinito.

"Ah! Percebo", respondeu Francisco com animação nos olhos.

"Tudo o que não tenha limites é infinito".

"Não!" disse Infinito, um bocado irritado. "0 e 1/2 são limites para os números entre eles. Os extremos de um segmento de recta também são limites para os pontos do segmento."

"Portanto uma coisa é infinita se nunca voa para fora da matéria que a constitui", disse sem nexo Francisco. "E pode-se recobrir um grande espaço ou um pequeno espaço, como um segmento de recta, desde que haja sempre um outro, após o que foi mencionado anteriormente. Eu sei que isto soa a ambíguo, mas é isso o que tu és. Não é verdade?"

"Eu sou oINFINITO - nem mais, nem menos. INFINITO, INFINITO, INFINITO..." respondeu a voz profunda, com as palavras ecoando e esmorecendo ao longe. Francisco desenhou um segmento de recta num bocado de papel. Dobrou o papel e, com um sorriso de satisfação, meteu-o no bolso. Ele sabia que tinha agarrado uma infinidade e que cabia no seu bolso.

Theoni Pappas

O Infinito na Literatura

"As Perturbações do Pupilo Törless"
Robert Musil


"Törless pôs-se a reflectir sobre isto; tentou ficar o mais possível calmo e pensar sensatamente. «É um facto que não há fim», dizia para consigo, tudo continua,continua sempre, até ao infinito». Mantinha os olhos presos ao céu e dizia isto como que para testar a força de uma fórmula mágica. Mas em vão; as palavras não diziam nada, ou antes, diziam qualquer coisa de muito diferente, como se falassem do mesmo objecto, mas de uma perspectiva estranha e indiferente.
«O infinito!» Törless conhecia o termo das aulas de Matemática. Nunca tinha imaginado nada de especial nessa palavra. Estava sempre a aparecer; alguém a teria inventado num dia, e desde então era possível fazer cálculos com ela, tal como com outras realidades sólidas. Era exactamente aquilo que via no cálculo, e Törless nunca buscara nela nada para além disso.
E agora estremecia, como se sentisse um choque, ao pensar que aquela palavra tinha qualquer coisa de terrivelmente inquietante. Via-a como um conceito domado, com o qual fazia diariamente pequenas habilidades, e que agora, subitamente, se libertara. Qualquer coisa que ia para além do entendimento, algo de indomável e destruidor, parecia ter ficado adormecido no trabalho de um qualquer inventor, e agora despertava de repente e era de novo aterrador. Estava ali, vivo, naquele céu sobre a sua cabeça, ameaçador e sarcástico.
Acabou por fechar os olhos, porque aquele espectáculo o torturava."

Uma imagem vale mais do que mil palavras?!...

Há palavras que evocam mil imagens!
So sometimes we use words and ... others we use images.
If I could I would use both.

Aqui têm uma construção em Geogebra que permite visualizar gráficos de funções exponenciais e das respectivas inversas, funções logarítmicas.

Até ao infinito e mais além...

Uma função exponencial

Ciência e Arte

Ilusões de óptica

Arte & Matemática

Aqui há uns anos atrás foram transmitidos semanalmente na RTP2 uns filmes, de origem brasileira (TV Escola), com o título genérico de Arte & Matemática. Aqui está um deles: SIMETRIAS.
Há também um sítio, bem interessante, com este nome: ARTEMATEMÁTICA.
Vale a pena dar uma espreitadela!

Mais algumas informações sobre o número e

e = 2,718281828...

e é um número irracional e é representado por uma sucessão infinita não periódica de dígitos. A irracionalidade de e foi provada em 1737 por Euler.
Charles Hermite em 1873 provou que e é um número transcendente; isto é, não pode ser solução de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.

O número e pode ser interpretado geometricamente de vários modos.

A área sob o gráfico de y = e^x de -infinito a 1 é igual a e.










A área sob a hipérbole y = 1/x de x =1 a x = e é igual a 1.

Fonte:"e: História de um número"
Eli Maor

O número e (parte IV)

Esta série foi descoberta por Newton em 1665, e pode ser obtida da expansão binomial de (1+1/n)^n (*), fazendo n -> +infinito. Ela converge muito rapidamente, devido ao aumento rápido dos valores dos factoriais nos denominadores. Por exemplo, a soma dos primeiros onze termos (terminando com 1/10!) é 2,718281801; o valor real, aproximado a nove casas decimais é 2,718281828.


(*) Para desenvolver (1+1/n)^n utiliza-se o Binómio de Newton.

Então,

e …

As coisas só aparentemente não estão ligadas…

Fonte: "e:História de um número"

Eli Maor

O número e na cidade

Geometer's Sketchpad
Olívia - Maria José

e - um número especial (parte II:)

878 / 323 = 2,718266…

Esta é a melhor aproximação do número e utilizando uma fracção de números inteiros inferiores a 1000: com quatro dígitos de precisão. De certo modo parece-se com a conhecida 355/113 que está assombrosamente próxima de π (3,1415929… seis dígitos de precisão.)

em "e: História de um número"
Eli Maor

e - um número especial

"É possível que, não importa quão elevado seja n, os valores de

(1 + 1/n)n estabilizem nalgum ponto em torno de 2,71828?"

"Esta intrigante possibilidade foi de facto confirmada por uma cuidadosa análise matemática. Não se sabe quem primeiro notou o comportamento peculiar da expressão (1 + 1/n)n quando n tende para mais infinito, por isso, a data exacta do nascimento do número que mais tarde seria designado por e permanece obscura. Parece provável, no entanto, que as suas origens recuem até ao início do século XVII, por volta da época em que Napier inventou os logaritmos.

Aquele período foi marcado por um enorme crescimento do comércio internacional e as transacções financeiras de todos os tipos proliferaram. Em consequência, foi dada bastante atenção à lei dos juros compostos, e é possível que o número e tenha sido reconhecido pela primeira vez nesse contexto. Contudo, questões não relacionadas com juros compostos também levaram ao mesmo número na mesma época.

O processo matemático que se encontra na base de e é a passagem ao limite."

em "e: História de um número” de Eli Maor
Gradiva – Trajectos Ciência

BANCO DE ITENS

Ainda no sítio do GAVE (em http://bi.gave.min-edu.pt/bi/es/) encontram o chamado Banco de Itens, no qual, por disciplina e por ano, têm perguntas de exames.
Podem criar a vossa mochila de itens e nela guardarem as perguntas que entenderem, por temas, por exemplo. A estas perguntas podem responder on-line ou imprimi-las para resolver/responder mais tarde.

Dêem lá uma saltada. Vale a pena!

Testes intermédios

No passado dia 10 de Dezembro realizou-se o primeiro teste intermédio deste ano lectivo.
Foi aplicado às turmas 12º ano com Matemática A.
Os próximos testes intermédios de Matemática A serão aplicados nas datas que constam no calendário da figura abaixo.


Mais informações em: http://www.gave.min-edu.pt/np3/9.html
Aqui encontram, para além de todas as informações que necessitarem sobre os testes intermédios, os seus enunciados, as respectivas correcções e critérios de correcção.

BOM ANO!

Eu vi, como alguém que pode testemhunhar o trajecto de Vénus, uma quantidade passando pelo infinito e mudando de sinal de mais para menos. Vi exactamente como aconteceu (...) mas foi depois do jantar e passou-me.

Sir Winston Churchill, My Early Life (1930)